问个卷积的拉普拉斯变换的证明问题

只看该作者 · 2012-4-9 00:38

我很不理解15-76式是怎么得到15-77式的
交换积分顺序是怎么进行的? 图中好像是把

与

对调
我也有特地查了一下交换积分顺序的方法不过好像不是如图中的那样做啊..

2万 · 2012-4-9 08:18

re LZ：

所谓交换积分顺序就是如下形式的变换：

  ∫F(x)[∫G(y)dy]dx
  = ∫∫F(x)G(y)dydx
  = ∫∫G(y)F(X)dxdy
  = ∫G(y)[∫F(x)dx]dy

注意，这里G(y)未必仅是y的函数，若G为形式g1(y)g2(x,y)则有如下变换：

  ∫F(x)[∫g1(y)g2(x,y)dy]dx
  = ∫∫F(x)g1(y)g2(x,y)dydx
  = ∫∫g1(y)g2(x,y)F(X)dxdy
  = ∫g1(y)[∫g2(x,y)F(x)dx]dy

2万 · 2012-4-9 08:30

另外注意其中的u()（单位阶跃函数），其作用是截断负时间上的数据。因在此已经采用单边拉普拉斯变换，故可直接拿掉（假定负时间数据为零）。

只看该作者 · 2012-4-9 08:55

mobai

只看该作者 · 2012-4-9 11:42

本帖最后由 sainimu78 于 2012-4-9 11:43 编辑

2# HWM

谢谢HWM , 看懂了
这个性质是怎么来的呢
严格证明我是不会 , 我就随便填个参数算了一下结果是不一样的呀

用 maple 算的

其实这个性质跟二重积分的性质是不一样的吗? 那么是怎么来的呢

2万 · 2012-4-9 11:55

to 5L：

所给式子不是那么回事儿，建议复习《高等数学》。

只看该作者 · 2012-4-9 12:53

本帖最后由 sainimu78 于 2012-4-9 12:57 编辑

6# HWM

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2012-4-9 12:56 上传

:dizzy: 不明白啊这跟这个 ∫F(x)[∫g1(y)g2(x,y)dy]dx 不是可以对应起来吗
F(x)=x^2 , g1(y)=2y , g2(x,y)=xy

我在高数书上只查到

这个性质 ,
莫非书里给出的这个性质是这个的特殊情况?

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2012-4-9 12:56 上传

2万 · 2012-4-9 13:29

to 7L：

注意其积分上下界是个变量。

只看该作者 · 2012-4-9 13:45

8# HWM
明白了那就是说
∫F(x)[∫g1(y)g2(x,y)dy]dx
  = ∫∫F(x)g1(y)g2(x,y)dydx
  = ∫∫g1(y)g2(x,y)F(X)dxdy
  = ∫g1(y)[∫g2(x,y)F(x)dx]dy  这个性质不是二重积分的性质吧
那这个性质叫什么呢?  我想查一下这个性质是怎么得来的

2万 · 2012-4-9 13:54

to 9L：

这是二重积分的性质，但上下积分限不函变量。

只看该作者 · 2012-4-9 16:17

本帖最后由 sainimu78 于 2012-4-9 16:38 编辑

10# HWM

猜不着那我也不逞强了我真的不懂

∫F(x)[∫g1(y)g2(x,y)dy]dx
  = ∫∫F(x)g1(y)g2(x,y)dydx    (1)-------F(x)怎么放到方括号内的积分号里了?
  = ∫∫g1(y)g2(x,y)F(X)dxdy    (2)-------两个积分的积分变量怎么调换了?
  = ∫g1(y)[∫g2(x,y)F(x)dx]dy    (3)-------g1(y)dy怎么放到外面去了?
都是根据什么来这样做的呢

书里的几个性质我都仔细看过了只有7L的最后那个式子最像  可是又不是

只看该作者 · 2012-4-9 22:25

本帖最后由 st316 于 2012-4-9 23:30 编辑

11# sainimu78
∫F(x)[∫g1(y)g2(x,y)dy]dx
  = ∫∫F(x)g1(y)g2(x,y)dydx    (1)-------F(x)怎么放到方括号内的积分号里了?
中括号里的 ∫g1(y)g2(x,y)dy 是对y积分的， F(x) 对它而言，相当于是一个常数，当然可以放到积分号里面去。就像 a ∫ f(x) dx=  ∫ a*f(x)dx 一样。

  = ∫∫g1(y)g2(x,y)F(X)dxdy    (2)-------两个积分的积分变量怎么调换了?
这是二重积分交换积分顺序，先对x或是先对y积分，都是可以的。

  = ∫g1(y)[∫g2(x,y)F(x)dx]dy    (3)-------g1(y)dy怎么放到外面去了?
同样地，g1(y)相对于∫g2(x,y)F(x)dx而言，它就是一个常数，当然可以放到括号外面了。