伤不起有木有？

只看该作者 · 2012-6-4 12:47

我被一个问题伤了，求复仇。我将问题最简单化：

以上三幅图截自童诗白第三版。
我的问题来了：
最后几行字中说“切比雪夫滤波器在f=f0附近的截止特性最好，曲线的衰减斜率最陡”
可是大家看第一幅图，Q=2.5,Q=5,Q=10，三根曲线不是更陡峭吗？截止特性岂不是更好吗？
这位就是我的疑问，也就是Q=0.96的优越性究竟在哪？

2万 · 2012-6-4 14:23

to LZ：

关于此已在另一帖中有说明。其实，对于二阶低通，只要 Q > 1/√2 其就是切比雪夫滤波。当 Q 增大，其通带内的幅值起伏就越大，这通常不是件好事，所以需要适当控制其 Q 值（实际上的设计过程是先考虑幅值起伏容许值，然后再定其他参数）。

另外要说明的是，其第二幅图中的切比雪夫滤波是三阶，而非二阶。书中的说明有误。

只看该作者 · 2012-6-4 15:20

仰视LS的！

只看该作者 · 2012-6-5 07:57

2# HWM 字里行间渗透出HWM的睿智和洞察力，一眼就知道是内行见高手，和我猜想的一样啊。1“只要 Q > 1/√2 其就是切比雪夫滤波”，敢问此句话可以参阅哪本书？2“关于此已在另一帖中有说明”敢问这另一帖怎么搜的到？（求给关键词）

2万 · 2012-6-5 08:19

在此

https://bbs.21ic.com/icview-342877-1-1.html

只看该作者 · 2012-6-5 11:40

本帖最后由 xiaotaodemeng 于 2012-6-5 12:17 编辑

5# HWM 哦，看到了

2万 · 2012-6-5 11:53

5# HWM 不对，那里还是没有告诉我为什么“只要 Q > 1/√2 其就是切比雪夫滤波”
xiaotaodemeng 发表于 2012-6-5 11:40

这段就是：

三，二阶低通：

二阶低通的通式为

T(S) = K / (S^2 + (ω0 / Q) S + ω0^2)

T(jω) = K / (ω0^2 - ω^2 + j (ω0 / Q) ω)

|T(jω)| = K / √((ω0^2 - ω^2)^2 + (ω0 ω/ Q)^2)

显然，幅度峰值频率点是 ωpeak = (1 - 1 / (2 Q^2)) ω0。仅当 Q > 1 / √2 时有 ωpeak > 0，即为（二阶）切比雪夫。

切比雪夫低通滤波在通带内必有幅频特性的“等幅振荡”，二价表现为有两个（上/下）峰值点。当 Q > 1 / √2 时，峰值频点为 0 和 (1 - 1 / (2 Q^2)) ω0。

只看该作者 · 2012-6-5 12:28

本帖最后由 xiaotaodemeng 于 2012-6-5 12:35 编辑

7# HWM 我就不明白了，这个切比雪夫到底有什么用呢？至于非要这样规定Q值吗？如果我往三阶上计算的话，该怎么研究切比雪夫的优越性呢？
换句话说，我想知道这个 cos（narccos x）到底是怎么得到的？

2万 · 2012-6-5 12:41

7# HWM 我就不明白了，这个切比雪夫到底有什么用呢？至于非要这样规定Q值吗？如果我往三阶上计算的话，该怎么研究切比雪夫的优越性呢？
xiaotaodemeng 发表于 2012-6-5 12:28

由于允许通带内存在可控的幅频纹波（其摆动幅度是等值的），针对同样的通带和阻带边界条件，切比雪夫滤波器相比某些其他类型的滤波器（如巴特沃思）所需阶数要底。这样可以降低滤波器实现的复杂性。

2万 · 2012-6-5 12:48

反过来说，切比雪夫滤波器在同阶条件下可以得到相对更陡的通阻带过度。

2万 · 2012-6-5 13:38

....
换句话说，我想知道这个 cos（narccos x）到底是怎么得到的？ ...
xiaotaodemeng 发表于 2012-6-5 12:28

这个是“设计”的，以便可以得到切比雪夫多项式....

在此，你只要明白cos的等幅特性即可。

只看该作者 · 2012-6-5 19:25

11# HWM o ，似乎有点眉目了！

只看该作者 · 2012-6-5 19:32

11# HWM 不过，试探性地问一下，cos（narccos x）的定义方式可以等价转换成传统的多项式吗？

2万 · 2012-6-6 10:27

11# HWM 不过，试探性地问一下，cos（narccos x）的定义方式可以等价转换成传统的多项式吗？
xiaotaodemeng 发表于 2012-6-5 19:32

可以尝试一下 N = 2，即 cos(2 arccos(x))。这是最简单的。

另外，有兴趣也可验证一下 N = 2 时的切比雪夫滤波中的几个式子的正确性。

只看该作者 · 2012-6-6 10:52

本帖最后由 xiaotaodemeng 于 2012-6-6 11:02 编辑

14# HWM 昨天晚上已经证明出来了。
另外，我的不成熟的结论是这样的，望斧正：
所谓的低通切比雪夫滤波器，不过是出于“使滤波器在小于f0的频率下实现等幅（注意，不是不规则的起伏）的起伏震荡”的目的，将Q等相关因子按照特定的关系（即按照切比雪夫的提示）设定。
这样可以解释：之所以二阶的切比雪夫滤波器Q值是唯一特殊的可以只需要满足“Q>0.707这个条件”，是因为二阶情况下只有一个起伏（一个波峰），没有“等幅”的必要了。

不知道我这样粗糙的概括正确与否。

2万 · 2012-6-6 12:38

to 15L：

确实如此。因二阶低通在 Q > 1/√2 时只有一个波峰（无需要求波幅一致），所以这就是切比雪夫滤波。但 Q 也不能大得过于离谱，否则事与愿违。

只看该作者 · 2012-6-6 21:44

16# HWM thanks！不过，我的另一篇帖子里开始了Q=0.96和1谁更准确的讨论，你觉得呢？

2万 · 2012-6-6 22:17

16# HWM thanks！不过，我的另一篇帖子里开始了Q=0.96和1谁更准确的讨论，你觉得呢？
xiaotaodemeng 发表于 2012-6-6 21:44

切比雪夫滤波器的设计不是从“Q”入手的....

其设计过程是：

1）由 |T(jωp)| = 1 / √(1 + ε^2) 确定 ε。

2）由 |T(jωs)| = 1 / √(1 + ε^2 cosh(N arccosh(ωs / ωp))^2) 确定 N。

3）由所得的 ε 和 N 算出极点，进而确定传递函数。

4）再根据传递函数具体确定相应的电路或算法以实现其功能。

在二阶中，由上所得的滤波器 Q 值可以确定是大于 0.707，仅此而已。

2万 · 2012-6-7 09:18

补充：

由于有 1 > |T(jωp)| > 1/√2 的要求（波动小于半功），所以通常规定 0 < ε < 1。

对于二阶，相应的 Q 值限制在 0.707 < Q < 1.306 的范围内。这也许能闻到点味道了。

由二阶通式（归一）

T (j ω) = ω0^2 / (ω0^2 - ω^2 + j ω0 ω / Q )

若希望 |T(j ω0)| = 1 （转折点和理想二阶相重），自然有 Q = 1。