摘要: 本文首先讨论了CRC的代数学算法，然后以常见的CRC-ITU为例，通过硬件电路的实现，引出了比特型算法，最后重点介绍了字节型快速查表算法，给出了相应的C语言实现。
关键词: CRC, FCS, 生成多项式, 检错重传
引言
CRC的全称为Cyclic Redundancy Check，中文名称为循环冗余校验。它是一类重要的线性分组码，编码和解码方法简单，检错和纠错能力强，在通信领域广泛地用于实现差错控制。实际上，除数据通信外，CRC在其它很多领域也是大有用武之地的。例如我们读软盘上的文件，以及解压一个ZIP文件时，偶尔会碰到“Bad CRC”错误，由此它在数据存储方面的应用可略见一斑。
差错控制理论是在代数理论基础上建立起来的。这里我们着眼于介绍CRC的算法与实现，对原理只能捎带说明一下。若需要进一步了解线性码、分组码、循环码、纠错编码等方面的原理，可以阅读有关资料。
利用CRC进行检错的过程可简单描述为：在发送端根据要传送的k位二进制码序列，以一定的规则产生一个校验用的r位监督码(CRC码)，附在原始信息后边，构成一个新的二进制码序列数共k+r位，然后发送出去。在接收端，根据信息码和CRC码之间所遵循的规则进行检验，以确定传送中是否出错。这个规则，在差错控制理论中称为“生成多项式”。
1 代数学的一般性算法
在代数编码理论中，将一个码组表示为一个多项式，码组中各码元当作多项式的系数。例如 1100101 表示为1·x6+1·x5+0·x4+0·x3+1·x2+0·x+1，即 x6+x5+x2+1。
设编码前的原始信息多项式为P(x)，P(x)的最高幂次加1等于k；生成多项式为G(x)，G(x)的最高幂次等于r；CRC多项式为R(x)；编码后的带CRC的信息多项式为T(x)。
发送方编码方法：将P(x)乘以x^r(即对应的二进制码序列左移r位)，再除以G(x)，所得余式即为R(x)。用公式表示为T(x)=xrP(x)+R(x)
接收方解码方法：将T(x)除以G(x)，如果余数为0，则说明传输中无错误发生，否则说明传输有误。举例来说，设信息码为1100，生成多项式为1011，即P(x)=x3+x2，G(x)=x3+x+1，计算CRC的过程为
xrP(x) x3(x3+x2) x6+x5 x
------------ = --------------- = ----------- = (x3+x2+x) + -----------
G(x) x3+x+1 x3+x+1 x3+x+1
即 R(x)=x。注意到G(x)最高幂次r=3，得出CRC为010。
如果用竖式除法(模二除法，即为XOR运算)，计算过程为
1110 ------- 1011 /1100000 (1100左移3位) 1011 ---- 1110 1011 ----- 1010 1011 ----- 0010 0000 ---- 010
因此，T(x)=(x6+x5)+(x)=x6+x5+x, 即 1100000+010=1100010
如果传输无误，
T(x) x6+x5+x ------ = --------- = x3+x2+x , G(x) x3+x+1
无余式。回头看一下上面的竖式除法，如果被除数是1100010，显然在商第三个1时，就能除尽。
上述推算过程，有助于我们理解CRC的概念。但直接编程来实现上面的算法，不仅繁琐，效率也不高。实际上在工程中不会直接这样去计算和验证CRC。
下表中列出了一些见于标准的CRC资料：
名称
生成多项式
简记式*
应用举例
CRC-4
x4+x+1
ITU G.704
CRC-12
x12+x11+x3+x+1
CRC-16
x16+x12+x2+1
1005
IBM SDLC
CRC-ITU**
x16+x12+x5+1
1021
ISO HDLC, ITU X.25, V.34/V.41/V.42, PPP-FCS
CRC-32
x32+x26+x23+...+x2+x+1
04C11DB7
ZIP, RAR, IEEE 802 LAN/FDDI, IEEE 1394, PPP-FCS
CRC-32c
x32+x28+x27+...+x8+x6+1
1EDC6F41
SCTP
* 生成多项式的最高幂次项系数是固定的1，故在简记式中，将最高的1统一去掉了，如04C11DB7实际上是104C11DB7。
** 前称CRC-CCITT。ITU的前身是CCITT。
2 硬件电路的实现方法
多项式除法，可用除法电路来实现。除法电路的主体由一组移位寄存器和模2加法器(异或单元)组成。以CRC-ITU为例，它由16级移位寄存器和3个加法器组成，见下图(编码/解码共用)。编码、解码前将各寄存器初始化为"1"，信息位随着时钟移入。当信息位全部输入后，从寄存器组输出CRC结果。
3 比特型算法
上面的CRC-ITU除法电路，完全可以用软件来模拟。定义一个寄存器组，初始化为全"1"。依照电路图，每输入一个信息位，相当于一个时钟脉冲到来，从高到低依次移位。移位前信息位与bit0相加产生临时位，其中bit15移入临时位，bit10、bit3还要加上临时位。当全部信息位输入完成后，从寄存器组取出它们的值，这就是CRC码。
typedef unsigned char bit;typedef unsigned char byte;typedef unsigned short u16; typedef union { u16 val; struct { u16 bit0 : 1; u16 bit1 : 1; u16 bit2 : 1; u16 bit3 : 1; u16 bit4 : 1; u16 bit5 : 1; u16 bit6 : 1; u16 bit7 : 1; u16 bit8 : 1; u16 bit9 : 1; u16 bit10 : 1; u16 bit11 : 1; u16 bit12 : 1; u16 bit13 : 1; u16 bit14 : 1; u16 bit15 : 1; } bits;} CRCREGS; // 寄存器组CRCREGS regs; // 初始化CRC寄存器组：移位寄存器置为全"1"void crcInitRegisters(){ regs.val = 0xffff;} // CRC输入一个bitvoid crcInputBit(bit in){ bit a; a = regs.bits.bit0 ^ in; regs.bits.bit0 = regs.bits.bit1; regs.bits.bit1 = regs.bits.bit2; regs.bits.bit2 = regs.bits.bit3; regs.bits.bit3 = regs.bits.bit4 ^ a; regs.bits.bit4 = regs.bits.bit5; regs.bits.bit5 = regs.bits.bit6; regs.bits.bit6 = regs.bits.bit7; regs.bits.bit7 = regs.bits.bit8; regs.bits.bit8 = regs.bits.bit9; regs.bits.bit9 = regs.bits.bit10; regs.bits.bit10 = regs.bits.bit11 ^ a; regs.bits.bit11 = regs.bits.bit12; regs.bits.bit12 = regs.bits.bit13; regs.bits.bit13 = regs.bits.bit14; regs.bits.bit14 = regs.bits.bit15; regs.bits.bit15 = a;} // 输出CRC码(寄存器组的值)u16 crcGetRegisters(){ return regs.val;}crcInputBit中一步一步的移位/异或操作，可以进行简化：void crcInputBit(bit in){ bit a; a = regs.bits.bit0 ^ in; regs.val >>= 1; if(a) regs.val ^= 0x8408;}
细心的话，可以发现0x8408和0x1021(CRC-ITU的简记式)之间的关系。由于我们是从低到高输出比特流的，将0x1021左右反转就得到0x8408。将生成多项式写成 G(x)=1+x5+x12+x16，是不是更好看一点？
下面是一个典型的PPP帧。最后两个字节称为FCS(Frame Check Sequence)，是前面11个字节的CRC。
FF 03 C0 21 04 03 00 07 0D 03 06 D0 3A
我们来计算这个PPP帧的CRC，并验证它。
byte ppp[13] = {0xFF, 0x03, 0xC0, 0x21, 0x04, 0x03, 0x00, 0x07, 0x0D, 0x03, 0x06, 0x00, 0x00}; int i,j; u16 result; /////////// 以下计算FCS // 初始化 crcInitRegisters(); // 逐位输入，每个字节低位在先，不包括两个FCS字节 for(i = 0; i < 11; i++) { for(j = 0; j < 8; j++) { crcInputBit((ppp[i] >> j) & 1); } } // 得到CRC：将寄存器组的值求反 result = ~crcGetRegisters(); // 填写FCS，先低后高 ppp[11] = result & 0xff; ppp[12] = (result >> 8) & 0xff; /////////// 以下验证FCS // 初始化 crcInitRegisters(); // 逐位输入，每个字节低位在先，包括两个FCS字节 for(i = 0; i < 13; i++) { for(j = 0; j < 8; j++) { crcInputBit((ppp[i] >> j) & 1); } } // 得到验证结果 result = crcGetRegisters();
可以看到，计算出的CRC等于0x3AD0，与原来的FCS相同。验证结果等于0。初始化为全"1"，以及将寄存器组的值求反得到CRC，都是CRC-ITU的要求。事实上，不管初始化为全"1"还是全"0"，计算CRC取反还是不取反，得到的验证结果都是0。
4 字节型算法
比特型算法逐位进行运算，效率比较低，不适用于高速通信的场合。数字通信系统(各种通信标准)一般是对一帧数据进行CRC校验，而字节是帧的基本单位。最常用的是一种按字节查表的快速算法。该算法基于这样一个事实：计算本字节后的CRC码，等于上一字节余式CRC码的低8位左移8位，加上上一字节CRC右移8位和本字节之和后所求得的CRC码。如果我们把8位二进制序列数的CRC(共256个)全部计算出来，放在一个表里 ，编码时只要从表中查找对应的值进行处理即可。
CRC-ITU的计算算法如下：a.寄存器组初始化为全"1"(0xFFFF)。b.寄存器组向右移动一个字节。c.刚移出的那个字节与数据字节进行异或运算，得出一个指向值表的索引。d.索引所指的表值与寄存器组做异或运算。f.数据指针加1，如果数据没有全部处理完，则重复步骤b。g.寄存器组取反，得到CRC，附加在数据之后。 CRC-ITU的验证算法如下：a.寄存器组初始化为全"1"(0xFFFF)。b.寄存器组向右移动一个字节。c.刚移出的那个字节与数据字节进行异或运算，得出一个指向值表的索引。d.索引所指的表值与寄存器组做异或运算。e.数据指针加1，如果数据没有全部处理完，则重复步骤b (数据包括CRC的两个字节)。f.寄存器组的值是否等于“Magic Value”(0xF0B8)，若相等则通过，否则失败。
下面是通用的CRC-ITU查找表以及计算和验证CRC的C语言程序：
// CRC-ITU查找表const u16 crctab16[] = { 0x0000, 0x1189, 0x2312, 0x329b, 0x4624, 0x57ad, 0x6536, 0x74bf, 0x8c48, 0x9dc1, 0xaf5a, 0xbed3, 0xca6c, 0xdbe5, 0xe97e, 0xf8f7, 0x1081, 0x0108, 0x3393, 0x221a, 0x56a5, 0x472c, 0x75b7, 0x643e, 0x9cc9, 0x8d40, 0xbfdb, 0xae52, 0xdaed, 0xcb64, 0xf9ff, 0xe876, 0x2102, 0x308b, 0x0210, 0x1399, 0x6726, 0x76af, 0x4434, 0x55bd, 0xad4a, 0xbcc3, 0x8e58, 0x9fd1, 0xeb6e, 0xfae7, 0xc87c, 0xd9f5, 0x3183, 0x200a, 0x1291, 0x0318, 0x77a7, 0x662e, 0x54b5, 0x453c, 0xbdcb, 0xac42, 0x9ed9, 0x8f50, 0xfbef, 0xea66, 0xd8fd, 0xc974, 0x4204, 0x538d, 0x6116, 0x709f, 0x0420, 0x15a9, 0x2732, 0x36bb, 0xce4c, 0xdfc5, 0xed5e, 0xfcd7, 0x8868, 0x99e1, 0xab7a, 0xbaf3, 0x5285, 0x430c, 0x7197, 0x601e, 0x14a1, 0x0528, 0x37b3, 0x263a, 0xdecd, 0xcf44, 0xfddf, 0xec56, 0x98e9, 0x8960, 0xbbfb, 0xaa72, 0x6306, 0x728f, 0x4014, 0x519d, 0x2522, 0x34ab, 0x0630, 0x17b9, 0xef4e, 0xfec7, 0xcc5c, 0xddd5, 0xa96a, 0xb8e3, 0x8a78, 0x9bf1, 0x7387, 0x620e, 0x5095, 0x411c, 0x35a3, 0x242a, 0x16b1, 0x0738, 0xffcf, 0xee46, 0xdcdd, 0xcd54, 0xb9eb, 0xa862, 0x9af9, 0x8b70, 0x8408, 0x9581, 0xa71a, 0xb693, 0xc22c, 0xd3a5, 0xe13e, 0xf0b7, 0x0840, 0x19c9, 0x2b52, 0x3adb, 0x4e64, 0x5fed, 0x6d76, 0x7cff, 0x9489, 0x8500, 0xb79b, 0xa612, 0xd2ad, 0xc324, 0xf1bf, 0xe036, 0x18c1, 0x0948, 0x3bd3, 0x2a5a, 0x5ee5, 0x4f6c, 0x7df7, 0x6c7e, 0xa50a, 0xb483, 0x8618, 0x9791, 0xe32e, 0xf2a7, 0xc03c, 0xd1b5, 0x2942, 0x38cb, 0x0a50, 0x1bd9, 0x6f66, 0x7eef, 0x4c74, 0x5dfd, 0xb58b, 0xa402, 0x9699, 0x8710, 0xf3af, 0xe226, 0xd0bd, 0xc134, 0x39c3, 0x284a, 0x1ad1, 0x0b58, 0x7fe7, 0x6e6e, 0x5cf5, 0x4d7c, 0xc60c, 0xd785, 0xe51e, 0xf497, 0x8028, 0x91a1, 0xa33a, 0xb2b3, 0x4a44, 0x5bcd, 0x6956, 0x78df, 0x0c60, 0x1de9, 0x2f72, 0x3efb, 0xd68d, 0xc704, 0xf59f, 0xe416, 0x90a9, 0x8120, 0xb3bb, 0xa232, 0x5ac5, 0x4b4c, 0x79d7, 0x685e, 0x1ce1, 0x0d68, 0x3ff3, 0x2e7a, 0xe70e, 0xf687, 0xc41c, 0xd595, 0xa12a, 0xb0a3, 0x8238, 0x93b1, 0x6b46, 0x7acf, 0x4854, 0x59dd, 0x2d62, 0x3ceb, 0x0e70, 0x1ff9, 0xf78f, 0xe606, 0xd49d, 0xc514, 0xb1ab, 0xa022, 0x92b9, 0x8330, 0x7bc7, 0x6a4e, 0x58d5, 0x495c, 0x3de3, 0x2c6a, 0x1ef1, 0x0f78,}; // 计算给定长度数据的16位CRC。u16 GetCrc16(const byte* pData, int nLength){ u16 fcs = 0xffff; // 初始化 while(nLength>0) { fcs = (fcs >> 8) ^ crctab16[(fcs ^ *pData) & 0xff]; nLength--; pData++; } return ~fcs; // 取反} // 检查给定长度数据的16位CRC是否正确。bool IsCrc16Good(const byte* pData, int nLength){ u16 fcs = 0xffff; // 初始化 while(nLength>0) { fcs = (fcs >> 8) ^ crctab16[(fcs ^ *pData) & 0xff]; nLength--; pData++; } return (fcs == 0xf0b8); // 0xf0b8是CRC-ITU的"Magic Value"}
使用字节型算法，前面出现的PPP帧FCS计算和验证过程，可用下面的程序片断实现：
byte ppp[13] = {0xFF, 0x03, 0xC0, 0x21, 0x04, 0x03, 0x00, 0x07, 0x0D, 0x03, 0x06, 0x00, 0x00}; u16 result; // 计算CRC result = GetCrc16(ppp, 11); // 填写FCS，先低后高 ppp[11] = result & 0xff; ppp[12] = (result >> 8) & 0xff; // 验证FCS if(IsCrc16Good(ppp, 13)) { ... ... }
该例中数据长度为11，说明CRC计算并不要求数据2字节或4字节对齐。
至于查找表的生成算法，以及CRC-32等其它CRC的算法，可参考RFC 1661, RFC 3309等文档。需要注意的是，虽然CRC算法的本质是一样的，但不同的协议、标准所规定的初始化、移位次序、验证方法等可能有所差别。
结语
CRC是现代通信领域的重要技术之一。掌握CRC的算法与实现方法，在通信系统的设计、通信协议的分析以及软件保护等诸多方面，能发挥很大的作用。如在作者曾经设计的一个多串口数据传输系统中，每串口速率为460kbps，不加校验时误码率大于10-6，加上简单的奇偶校验后性能改善不很明显，利用CRC进行检错重传，误码率降低至10-15以下，满足了实际应用的要求。 |
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