关于一个“酷”帖的思考....
在此不想对那个帖再评头论足，因为早已失去了意义。仅说明一下大学本科数学的必要性，且以《线性代数》为例（我想，《高等数学》本人已经说的够多的了）。
翻开一本《线性代数》，一般有如下章节
一）线性方程组
二）行列式
三）矩阵
四）线性空间与线性变换
五）标准形
六）酉空间
七）二次型
八）特征方程
在此讲两个章节的概要——线性空间与线性变换、酉空间。这可以说是《线性代数》的核心内容。
[定义] 设V是一些元素（称为“向量”）的非空集合，K是数域，如果对V中任意两个元素a与b，定义某种加法：“+”，记a+b，满足
A1）a+b∈V，∀a，b∈V，且a+b唯一，即加法“+”封闭和单值。
A2）(a+b)+c = a+(b+c)，∀a，b，c∈V，即加法“+”满足结合律。
A3）∃z∈V，使得 a+z = a = z+a，∀a∈V，即存在“零”元素。
A4）∃n∈V，使得 a+n = z = n+a，∀a∈V，即存在“负”元素，记为-a。
A5）a+b = b+a，∀a，b∈V，即加法“+”满足交换律。
又若∀k∈K，∀a∈V定义某种乘法：“×”（称为数乘），记为k×a（或简记k a），满足
M1）k a = a k∈V，且唯一，即数乘“×”封闭和单值，且可交换。
M2）k(a+b) = k a + k b，∀k∈K，∀a，b∈V，即满足分配律一。
M3）(k+l)a = k a + l a，∀k，l∈K，∀a∈V，即满足分配律二。
M4）k(l a) = (k l )a，∀k，l∈K，∀a∈V，即满足数乘结合律。
M5）1 a = a，∀a∈V，即定义了1的数乘。
则称V为K上的线性空间（或向量空间），K为其基域。
利用上述定义中的两个运算——加法和数乘，在线性空间内就可有所谓的线性组合，即将一列元素，a1、a2、...an，组合成一个单元
b = k1 a1 + k2 a2 +...+ kn an
其中，k1、k2、...kn∈K。注意，n可以无穷。
如果存在着一组元素（向量），a1、a2、...an，相互不能线性组合（线性无关），V中的任何元素（向量）都可由其线性组合而成，则此线性空间为n维空间，a1、a2、...an，为其一组基。当然，线性空间可以是无穷维的。
有了线性空间，就可定义其上的线性变换如下
[定义] 设A是数域K上线性空间V1映入K上线性空间V2的映射，即
A：a→A(a)
其中，∀a∈V1，A(a)∈V2。且满足
1） A(a+b) = A(a) + A(b)
2） A(k a) = k A(a)
其中，∀k∈K，∀a，b∈V1。
可见，有
A(k1 a1 + k2 a2 +...+ kn an) = k1 A(a1) + k2 A(a2) +...+ Kn A(an)
即若
A(ai) = 0 （i=1、2、...n）
有
A(k1 a1 + k2 a2 +...+ kn an) = 0
这就是所谓的“齐次方程”的解空间结构——即线性空间。这是一个非常简单，但重要的结果。
对此这里不想再多说什么，因为这已经是非常“直观”的东西。在此，想说一下另一个有意义的东西——傅里叶变换，即希尔伯特空间上的酉变换。
一）傅里叶级数
先考察一下所有周期为T且平方可积（有限能量）的函数所组成的集合。容易验证，这个集合就是个线性空间V。而且还可以证明，满足周期T内平方可积的周期函数可由一组V内线性无关的周期函数——e^(j 2πn t/T)（n = 0,±1,±2,...），线性表示。即
f(t) = ∑[n=-∞,+∞]Cn e^(j 2πn t/T)
其中Cn为复常数（属于复数域，故V也是个复数域上的线性空间）。显然，e^(j 2πn t/T)（n = 0,±1,±2,...）是复线性空间V内的一组基，且正交。
而Cn则是f(t)在此基上的投影，即内积：
Cn = [f(t),e^(-j 2πn t/T)]
= ∫[0,T] f(t)e^(-j 2πn t/T) dt/T
二）傅里叶变换
希尔伯特空间上的分析，在此略。
关于内积，可参考下贴
https://bbs.21ic.com/icview-572936-1-1.html
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