酱油启示录——59

只看该作者 · 2013-9-23 08:58

路过上堂《几何》课（欧几里得空间），当然不是中学“点线面”的那种。

显见，所有周期为T的函数构成一个线性空间，且是个无穷维空间，自然基为δ(t)（0≤t≤T）。

对于所有周期为T且周期内平方可积（有限能量）的函数集合，同样构成一个线性空间（记为L(T)），可定义内积如下

[f(t),g(t)] = ∫[0,T]f(t)g(t)dt/T

显然，范数为

‖f(t)‖ = √(∫[0,T]f(t)²dt/T)

范数？太数学了！其实就是“有效值”啦。既然如此，下面就将其称为“有效值”，其实也是线性空间内向量（这里就是周期为T的平方可积函数）“长度”。

至此，已经定义了一个欧几里得空间，且其自然基为δ(t)（0≤t≤T）。

若将周期T分割成若干段{T1,T2,...,Tn}，任一函数f(t)∈L(T)，可分解为若干个函数f1(t)，f2(t)，...，fn(t)，其中fi(t)在Ti内等于f(t)之外为零（i=1,2,...,n）。显然，fi(t)为自然基δ(t)（t∈Ti）构成的线性空间内的向量，故fi(t)正交（i=1,2,...,n）。这从内积定义式子也容易看到。

在欧几里得空间中，有如下关系：

‖f(t)‖² = ‖f1(t)‖²+‖f2(t)‖²+...+‖fn(t)‖²

现在看具体的一个例子——正弦函数f(t)，分解为正负两个半波函数f1(t)和f2(t)。显然有‖f1(t)‖=‖f2(t)‖，则

‖f(t)‖² = ‖f1(t)‖²+‖f2(t)‖² = 2‖f1(t)‖² = 2‖f2(t)‖²

即

‖f(t)‖ = (√2)‖f1(t)‖ = (√2)‖f2(t)‖

或

‖f1(t)‖ = ‖f2(t)‖ = ‖f(t)‖/√2

这就是“全波”有效值与“半波”有效值间的关系。

只看该作者 · 2013-9-23 09:20

附加说明两个概念（针对具体的正弦波，一般情形也一样）：

一）正弦波的正交分解

这是将一个正弦波分解成若干个正交的分量波，如正负半波。注意，一般的周期函数还可以分解成正交的谐波（傅里叶级数变换），这其实是一个道理。半波是砍掉正半部分或负半部分的“完整”波形。

二）采用半波（其实是半周）计算

计算一个周期内信号的某种特性，可以按时间分段处理。若信号具有某种对称性，则还可以利用此简化计算。需注意的是，与上不同，这里是将信号（或函数）按时间轴（横轴）分割成若干个信号片段，其并不是“完整”的波形。

只看该作者 · 2013-9-23 10:43

采用半周（按时间轴分割成信号片段）计算一点问题都没有！问题是***把这个半周时间段内的有效值当成“正半波的有效值”，据此算出“正半波的电流”为2.2mA，“正半波的功耗”为4.4mW。暂且不说用有效值计算是错误的。首先半波电压的有效值就不是220V而是155.5V左右。那后面的结果就可想而知是对是错。如果说***交待清楚算的是在半周内的局部平均，而并不是业界所公认的有效值和平均功率定义（业界默认，不作特殊说明，指的是完整的波形），那谁也不会说啥。

只看该作者 · 2013-9-23 11:02

此帖和那谁一点关系都没有。

问题源于下帖：

https://bbs.21ic.com/icview-622402-1-1.html

只看该作者 · 2013-9-23 12:27

谈到“业内”，无妨再多扯几句：

一）平均值，那是小学“业内”的事情，一般指算术平均。

二）功率，那是中学“业内”的事情，指做功速率。

三）有效值，那是大学“业内”的事情，指均方根值。注意，那玩意儿——‖f(t)‖（范数），就是。有效也有等效之义。

需要再次特别说明的是：

平均（无论是算术平均或均方根）是特定区域范围内（如某特定时间段或空间范围）的统计平均。对于周期量，远大于周期的范围内的平均值可用“周期平均”近似计算。如此才引入了“周期平均”这个平均特列。它是用于计算某范围内“周期量”均值的。此特定范围之外，不必保证其还是个周期量（譬如，AC电源切断后并无输出，而这不在所关心的范围内）。

所以，关于“平均”概念，别本末倒置了。