《电磁学》与《电路原理》——场到路的演变（续）

2万 · 2015-3-19 21:16

早前，发了个《场到路的演变》的帖子，其实源于当时坛内对“场”和“路”的概念和关系的认识误区而发的一篇“感慨”帖。明显，那是一篇“未完成”帖。现在觉得有必要完成它了。

《电路原理》其实是忽略了空间概念的《电磁学》，它只有一个时间连续维度。既然如此，《电路原理》中的基本物理概念一般都应该在《电磁学》中得到相应的体现。虽然《电磁学》中一般情况下没有电压和电流的概念，但是有其自己所对应的物理概念和物理量。下面先给出《电磁学》中的四个基本的物理量（概念）：

1）电荷密度（ρ），2）电流密度（J），3）电场强度（E），4）磁感应强度（B）。

为了使麦克斯韦场方程的形式更为简洁，再加入两个“中间过渡”量，它们是：

5）磁场强度（H），6）电通密度（D）。

这样就可以给出八个《电磁学》方程如下（非独立）：

麦克斯韦微分方程

▽•D = ρ
▽•B = 0
▽╳E = - M - dB/dt
▽╳H = J + dD/dt

连续性方程

▽•J = - dρ/dt

本构关系(constitutive relationships)

J = σE
B = μH
D = εE

前面五个方程是纯粹的场方程，非常的“干净”，而后面的三个本构关系则是有点“丑陋”。这里的三个参数——σ、μ和ε，可以是线性二阶张量（线性但非各向同性），也可以是非线性的（甚至是非单值的）。爱因斯坦曾对他的引力场方程评价说，其一边是非常的美——几何（类似大理石），而另一边则是有点丑——质能（类似木头）。上面给出的那几个方程似乎也有点类似。

既然《电路理论》都把空间概念给忽略掉了，那么这里就直接假设本构关系都是各向同性且均匀的（但并非线性），这样上述三个参数则都是标量且在特定范围内与空间无关。将后两个本构关系代入到麦克斯韦方程中便可消除掉H和D，得如下六个方程：

▽•E = ρ/ε
▽•B = 0
▽╳E = - M - dB/dt
▽╳B = μJ + μεdE/dt

▽•J = - dρ/dt

J = σE

2万 · 2015-3-19 21:18

给张图说明一下其关系：

2万 · 2015-3-19 21:20

上图中黑色的那几个式子在《电路理论》相关的基础中非常重要，将被留下。而中间的那两个式子（关于E和B）合起来就是所谓的电磁波动方程，那将玩出电磁波来，在此将忽略掉下面那个绿色的式子（安倍定律中的位移电流部分）。此外，左面那两个“彩色”方程也将被去掉。这样一来就得如下关系图：

2万 · 2015-3-19 21:22

在早前的那个帖子里，已经用上图左右那两个式子（即法拉第电磁感应定律和连续性方程）说明了基尔霍夫定律的由来。

关于电阻、电容和电感的由来，其实就存在于中间的那“中”、“上”和“下”这三个式子中。

2万 · 2015-3-19 21:24

一）电阻

由J = σE，容易得知：

电阻=L/(σS)

2万 · 2015-3-19 21:26

本帖最后由 HWM 于 2015-3-19 21:27 编辑

二）电容

由▽•E = ρ/ε，容易得知：

电容=εS/L

2万 · 2015-3-19 21:27

三）电感

由▽╳B = μJ，容易得知：

电感=μ(N^2)S/L

2万 · 2015-3-19 21:28

注意，上述关于电阻、电容和电感的公式推导中（未表，具体见《电磁学》），采取了适当的理想化处理且利用了图中左右的那两个基本式子（法拉第电磁感应定律和连续性方程）。

2万 · 2015-3-19 21:30

最后，说一下那个所谓的“第四类”基本无源元件——“忆阻”。在图中，给出了那根红线似乎可以建立起某种关系。先不说《电磁学》（宏观）意义下是否可以有那么个关系，单就《数学》层面来说B（矢量）和ρ（标量）要建立起一个“场方程”就是个问题（注意：B的散度已经被用掉，且等于零）。所以说，就《电磁学》本身而言并不支持存在所谓的“第四类”基本无源元件。其实，就那个所谓的“第四类”基本无源元件的《电磁学》基础，早有人提出质疑，具体在这里就不说了。

严格来说，“忆阻”是一种荷控器件（电阻属性），其物理基础在微观层面（超出了经典的电磁学范畴）。但是，如果摆脱《电磁学》的空间概念，用《电路理论》来“建模”或许能说明一些问题，而这也就是上世纪七十年代那个电路理论专家所“预言”的东西。

《电路理论》中的四个关系为：

1）电流~电压，构成了电阻关系；2）电压~电荷，构成了电容关系；3）电流~磁链，构成了电感关系；4）磁链~电荷，构成了“第四类”基本无源元件关系。

关于“第四类”，给个关系：

Φ = R(Q) Q

如果是线性关系（即R(Q)与Q无关，令其为R），则有

U = dΦ/dt = R dQ/dt = R I

这就是个线性电阻！！！

所以，“忆阻”必然是非线性的。

一般情况下（非线性），有

U = dΦ/dt = (Q dR(Q)/dQ + R(Q)) dQ/dt = (Q dR(Q)/dQ + R(Q)) I

如果将Q=∫[-∞,t] I(τ) dτ代入，显见这是个具备**功能的时变系统。

2万 · 2015-3-19 21:31

续完。

只看该作者 · 2015-3-19 23:45

赞！很有见解

只看该作者 · 2015-3-20 00:20

张量一直理解不了，能否科普一下，请说的通俗点，能用图表不最好了，我一直想像不出张量是什么样子的。

只看该作者 · 2015-3-20 07:23

看到
[电路/定理] 《电磁学》与《电路原理》——场到路的演变（续）
亮了

我记得是几年前看到过这个帖子的前半部分，印象超级深刻。。。。

2万 · 2015-3-20 08:23

老6快来看，大清早的又有话题了！！！

梳理下下面一段话逻辑:
▲
关于“第四类”，给个关系：
Φ = R(Q) Q
如果是线性关系（即R(Q)与Q无关，令其为R），则有
U = dΦ/dt = R dQ/dt = R I
这就是个线性电阻！！！
所以，“忆阻”必然是非线性的。
▲

好玩吧，先假设R是个普通线性电阻，据此证明出R是个普通线性电阻(odinary resistor)？！
高级吧？！
紧接着来了句:所以忆阻必然是非线性的？！
这前后是不是风马牛的关系？

我说老抽粉丝基本功很差的，没说错吧？

2万 · 2015-3-20 08:30

9楼红字那段，估计是自己想象的。

只看该作者 · 2015-3-20 08:52

谁删了一个12楼的回复的帖子，说楼主的见解来自于二个美藉华裔教授。请列出那二本书的书名，我也想看一下，最近对电磁学非常感兴趣。

2万 · 2015-3-20 09:37

dongshan 发表于 2015-3-20 08:52
谁删了一个12楼的回复的帖子，说楼主的见解来自于二个美藉华裔教授。请列出那二本书的书名，我也想看一下， ...

我删的。
原因有二，1是不想扯，2是把人家老底揭出来不好，人家还指望这个东西再获阳春白雪美誉呢。这不，年吧没用的ID现在用了，可见庄重。

2万 · 2015-3-20 10:09

dongshan 发表于 2015-3-20 08:52
谁删了一个12楼的回复的帖子，说楼主的见解来自于二个美藉华裔教授。请列出那二本书的书名，我也想看一下， ...

对电磁学感兴趣，最好的书有两本:
1是郑钧的《电磁场与电磁波》，思路清晰，行文流畅，跟读路遥的平凡的世界一样，一口气读完，中间不歇。此书精读。楼主那些所谓"总结"，此书反复强调了。
2是诺贝尔奖获得者，科学老顽童费恩曼的《物理学讲义》，楼主经常扯的对称美等话题，此书都有详细论述。郑钧的那本书，其实是这本的第二卷的精炼版。

我刚才查了，这两本都有中文版了，老抽的粉丝有福了。

3万 · 2015-3-20 10:19

阳春白雪，和者盖寡。
没错。

只看该作者 · 2015-3-20 11:05

lz最大的问题是把问题讲的复杂化、“高级化”，而这个论坛上绝大多数人看见电磁场就恐惧的，lz这么讲必然是曲高寡合。
对于电磁场还没入门的人，应该简单化、通俗化、少新概念，要给以信心和兴趣，授人以渔，是方法，而不是你已经得到鱼，即看上去严谨完备的知识。
比如，此贴中▽╳E = - M - dB/dt中的M，多数书上都没有，而且物理上也不存在的，是对应于电流J的磁流？，为了公式的完美才加上？那么▽•B式右端为什么不加上磁荷呢？
这些一般书上都不讲，物理上不存在，讲了干什么？ ▽╳E = - dB/dt 法拉第电磁感应这么都简单啊！
还有那个所谓的“忆阻”，又是脱离宏观电磁场的范围，又是非线性，...
大概只能显摆知识的库存量吧。

《电磁学》与《电路原理》——场到路的演变（续）

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