本帖最后由 andy520520 于 2020-6-6 21:43 编辑
分享一个最简单的一元函数泰勒级数推导
以下方法推导泰勒级数是我看到的最简单方法，通过微积分的基本公式就可以得出
f(x) = f(a) + f(x) - f(a)
= f(a) + ∫(a-->x) d f(x1) , (a-->x) 积分区间
= f(a) + ∫(a-->x) f '(x1)dx1 , ①
f '(x1) = f '(a) + f '(x1) - f '(a)
= f '(a) + ∫(a-->x1) d f '(x2)
= f '(a) + ∫(a-->x1) f ''(x2) dx2 ，②
把f '(x1) 代入到①，
f(x) = f(a) + f '(a)(x - a) + ∫(a-->x) ∫(a-->x1) f '' (x2) dx2 dx1
同样把f '' (x2) , f'''(x3) ... 像 f '(x1)那样展开，可以得到，
f(x) = f(a) + f '(a)(x - a) + 1/2! * f '' (a) (x - a)^2 + 1/3! * f ''' (a) (x - a)^3 ... 1/n! * f''' ''(a)(x- a)^n +
∫(a-->x1) ∫(a-->x2)... ∫(a-->xn) ... f ''' ''' (xn) dxn dx.n-1... dx3 dx2 dx1
∫(a-->x1) ∫(a-->x2)... ∫(a-->xn) ... f ''' ''' (xn) dxn dx.n-1... dx3 dx2 dx1 为泰勒级数的余项 Rn(x)
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