为何没有离散拉普拉斯变换....

2万 · 2017-2-12 09:48

如题，其实言下之意就是为何傅里叶变换更青睐于离散分析。

2万 · 2017-2-12 09:50

学过拉普拉斯变换的都知道，拉普拉斯变换由于引入了复数域（复变函数），其积分变换核函数中出现了实指数（虚虚为实）函数因子。正是这个实指数函数因子所导致的指数衰减，使得通常所见的信号的拉普拉斯变换在复数域中的某个区域内可以单边积分收敛。而由于通常仅考虑初始态（以其表征初态前的信号激励效果），所以拉普拉斯变换在时域信号的s域分析中几乎都使用单边积分变换且存在收敛域。

由于几乎所有常见信号都可以通过拉普拉斯变换得到一个“良好”的复变函数，所以《复变函数》作为一门相对简单且成熟的数学工具可以非常流畅地应用于信号分析中去。

譬如，信号的微积分处理的s域表示，就可以非常容易地利用分部积分法推导而得。具体推导过程，可以看《电路原理》和《信号与系统》之类的书籍。

2万 · 2017-2-12 09:51

那么，反观傅里叶变换，由于没有上述的那个指数衰减因子，所以导致了一大类信号（譬如最常见的周期信号）的傅里叶积分变换不收敛。而正是由于此，产生了所谓的广义函数，而《广义函数论》已经不是古典分析理论了。

2万 · 2017-2-12 09:52

其实，何必去纠结广义函数呢。周期信号的傅里叶级数早已经绕开了那个坎，而级数的各项系数就是频域上离散点的频谱“强度”（注意，这里没有具体函数值得概念）。

如果用C(nω)表示傅里叶级数的系数，那么微分后的系数就是jnωC(nω)。而若是简谐信号，那么就有jωC(ω)，一个特例而已。

2万 · 2017-2-12 09:53

下面，看看非周期信号如何处理。

由于实际考虑的非周期信号几乎都是局限在某个时间区域内的（即区域外可以认为是零），那么就可以使用周期延拓，把原本非周期信号周期延拓成一个周期函数。这样一来，傅里叶级数的所有理论都可以应用于此。

2万 · 2017-2-12 09:55

现在，再往前走一步，把频域中的离散频点上的频谱“强度”局限在一个有限的频率区域内（即认为高于某个频率的频谱为零）。然后将此有限频率范围内的频谱作周期延拓，则反过来必须要求原信号是时间离散的。这样，就引入了离散（时间）傅里叶变换。

2万 · 2017-2-12 09:55

最后，各位自己估算一下，有限时间离散信号的数据量与其经离散傅里叶变换后的频域数据量间的关系。

2万 · 2017-2-12 09:59

附注：

Z变换不是离散拉普拉斯变换，这里有必要说明一下。

2万 · 2017-2-12 12:46

这个帖子俺读不懂！

但是看标题，我估计闹乌龙了！

对于连续时间变量，傅立叶变换不收敛，有拉普拉斯变换收拾它！
同样，对于离散信号，DFT变换不收敛，有Z变换收拾它！
于是楼主纳闷了，如果把Z字，改成拉普拉斯，不就对称了？

只看该作者 · 2017-2-12 13:02

本帖最后由 AD797 于 2017-2-12 13:05 编辑

问题问的就有问题，毫无逻辑，什么叫没有离散的拉普拉斯变换？
就像你问别人，中午为什么不吃油条一样摸不着头脑。没法回答。
你可以问别人中午为什么不吃饭。比如别人如果吃了，就说吃了，你没看到，如果别人没吃，可能说忙还没来得急，或者等其他人一起吃，或者不舒服不想吃。

说白了还是不清楚傅里叶变换和拉氏变换的目的和区别，为什么用，用在哪？

至于后面什么技术分析啰啰嗦嗦，这方面的书很多，有好些写的很清楚，也很易懂。

只看该作者 · 2017-2-12 13:04

本帖最后由 AD797 于 2017-2-12 13:06 编辑

离散傅里叶变换，简单的说，想用计算机来进行信号处理，需要时域和频域的离散形式的表达。
时域的取样（离散 ADC转换）造成了频域的周期性，所以时域的取样需要满足采样定理，来使得频域的周期T足够大，防止混叠，这样就能恢复原信号（时域）。
也可用从频域取样的角度说，...
所以离散傅里叶变换和反变换中，时域和频域都说离散化和周期化的，不过没关系，只要满足取样定律，便可外加滤波器可忽略需要区域之外的信号并实现信号的恢复。

2万 · 2017-2-12 13:14

AD797 发表于 2017-2-12 13:04
离散傅里叶变换，简单的说，想用计算机来进行信号处理，需要时域和频域的离散形式的表达。
时域的取样（离 ...

我这里说“没有离散拉普拉斯变换”是指没有基于此的理论，但可以有拉普拉斯变换的相应（离散）数值计算方法。

离散傅里叶变换则是自成体系的一套严谨的理论，而这是相关数字化处理的理论基础。

而这里我所强调的是，这两种变换的本质差异。譬如对某些性质的分析处理上。

2万 · 2017-2-12 13:21

AD797 发表于 2017-2-12 13:04
离散傅里叶变换，简单的说，想用计算机来进行信号处理，需要时域和频域的离散形式的表达。
时域的取样（离 ...

这个，你就理解错了。

离散傅里叶变换，就其自身而言，没有误差。引入误差的是数值的量化处理（譬如ADC）——即量化误差。

当然，你可以认为时间离散化也是一种“误差”，但那是在离散傅里叶变换的理论体系之外的误差。

只看该作者 · 2017-2-12 13:22

本帖最后由 AD797 于 2017-2-12 13:25 编辑

HWM 发表于 2017-2-12 13:14
我这里说“没有离散拉普拉斯变换”是指没有基于此的理论，但可以有拉普拉斯变换的相应（离散）数值计算方 ...

只要有需要，完全可以有离散拉普拉斯变换，但现在z变换满足这样的需要。
要重点理解需要这两个字，极端的重要。对于z变换与拉氏变换的关系，以及为什么用z变换而不用所谓的离散拉氏变换，就是小问题了。

2万 · 2017-2-12 13:28

对于傅里叶变换，有的时候（通常是多数时候）必须考虑“离散化”，这是其本质所致。而通常所采用的离散化手段就是级数分析。

而对于有限级数的分析，计算机则是最为擅长的工具。所以，计算机技术就成了离散傅里叶分析的理想归宿。

只看该作者 · 2017-2-12 13:30

HWM 发表于 2017-2-12 13:21
这个，你就理解错了。

离散傅里叶变换，就其自身而言，没有误差。引入误差的是数值的量化处理（譬如ADC ...

不要引入与此话题无关的概念，我用ADC只是实用化的说明取样的实现。我可以是100bit的未来幻想级超级ADC，哈哈，这时候是不是又要讨论放大电路的失真、讨论时钟的抖动了...

只看该作者 · 2017-2-12 13:33

本帖最后由 AD797 于 2017-2-12 13:43 编辑

HWM 发表于 2017-2-12 13:28
对于傅里叶变换，有的时候（通常是多数时候）必须考虑“离散化”，这是其本质所致。而通常所采用的离散化手 ...

你应该从需求的角度去考虑问题，即从用途、目的的角度，而不是从傅里叶变换本身或者数学本身去考虑问题。

2万 · 2017-2-12 13:34

AD797 发表于 2017-2-12 13:22
只要有需要，完全可以有离散拉普拉斯变换，但现在z变换满足这样的需要。
要重点理解需要这两个字，极端 ...

我前面已经指明了，Z变换不是离散拉普拉斯变换！

现在有一种所谓的“离散拉普拉斯变换”，那是类似数值计算方法模拟拉普拉斯变换，所以说不成为一个独立的理论。

而离散傅里叶变换则是可以独立成为离散分析中的一个完备的理论体系。

2万 · 2017-2-12 13:40

AD797 发表于 2017-2-12 13:30
不要引入与此话题无关的概念，我用ADC只是实用化的说明取样的实现。我可以是100bit的未来幻想级超级ADC， ...

无论使用位数多么高的ADC，理论上量化误差总是存在。注意，这是在所论及的理论体系内的误差。

只看该作者 · 2017-2-12 13:40

所谓的周期化或延拓，以及一些数学上东西，不要考虑太多，因为为的是数学上的合理性，在工程上，周期化只是砌房子的脚手架，砌完了房子还要脚手架干嘛？我真是不懂有一些人一直当回事的讨论什么延拓，什么复变函数上对于工程师无关的概念。

为何没有离散拉普拉斯变换....

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