拉开平行板电容极板，求能量流动关系（赏分）

2万 · 2011-4-11 12:43

设有一平板电容，其极板可移动。极板面积为A，初始间距为d。

将一电压源（电压为U）连接电容，待充满电后（即电容端电压充至U）将电容极板慢慢地拉开至2d（拉开过程中电源一直连接在电容上）。

试分析拉开电容极板的过程中，能量的流动关系，算出最终的能量流动量。

希望能给出两种解法。

4万 · 2011-4-11 13:02

电容的能量=1/2 C U^2

C＝ε S/d ( C=电容容量 ε=介电常数 S=面积 d=距离)

距离增加一倍,电容容量也减少一半

能量也减少一半, 能量是从电容传递给电源

只看该作者 · 2011-4-11 19:14

C＝ε S/d ，现在d增大，所以C减小,d变成2d的话，C将变成1/2C
由于电容两端的电压保证不变，所以Q=CU，Q减小
Q减小，那么Q需要从电容上移转到电源上去
由于I=Q/t,所以此时有了电流，也就是电容的放电电流
既然存在电流，将电荷传送到电源去，那么此时是电容的能量减小，电源的能量增加
电容上的能量：d间距时，W1=1/2CU^2 2d间距时，W2=1/2（1/2）CU^2=1/2W1
总的电荷是守恒的，外加的作用是板间距增大，但是并不能把电荷消耗掉
所以总的能量是不变的，即，电容上有1/2的能量被电源吸收掉

再换一种角度来考虑
E=U/d,当d变化成2d时，E变成1/2E
电场能量：1/2εE^2变成1/8ε E^2，即，电场能量变成原来的1/4
此时由位移电流将产生磁场，磁场能量。。。。。。我算不出来了

只看该作者 · 2011-4-11 22:42

本帖最后由 mmax 于 2011-4-11 22:44 编辑

电容端口的流过能量看

W= ∫U*I dt

I = d(C*Uc)/dt
= Uc*dC/dt
（I流入电容为正）

W=Uc*Uc*deta(C)，C减小多少2楼已经说了。

好像跟2楼还是一个解释。

2万 · 2011-4-12 20:31

解：

先看电容，设X为电容极板的拉开距离，针对初始状态（X= 0）、拉开X，以及差值，列出电容上的电荷量和能量

电容上的电荷为（拉开X，初始态，差值）

  Qx = Cx U = ε A U / (d + X)
  Q0 = C0 U = ε A U / d                                                                         （初始态，X = 0）
  ΔQ = Qx - Q0 = ε A U (1 / (d + X) - 1 / d) = - ε A U X / (d (d + X))    （差值，负号表示流出）

电容上相应的电场能为（拉开X，初始态，差值）

  Wx = Cx U^2 / 2 = ε A U^2 / (2 (d + X))
  W0 = C0 U^2 / 2 = ε A U^2 / (2 d)                                              （初始态，X = 0）
  ΔW = Wx - W0 = - ε A U^2 X / (2 d (d + X))                                  （差值，负号表示流出）

显然可见，电容上的能量减小了|ΔW|。

现在再分析电容和电源间的能量流量。设 I 为电容和电源间的电流（方向由电源到电容），则能量的流量为

  Wax = - ∫ U I dt = - U ∫ I dt = - U ΔQ = ε A U^2 X / (d (d + X)) = 2 |ΔW|

显见，电容流入电源的能量是电容自身能量减小值得两倍。说明，在拉开电容极板的时候，对电容极板作了功。其功为：

  Wbx = Wax + ΔW = ε A U^2 X / (2 d (d + X)) = |ΔW|

再令 X = d（即将极板间距拉开至2d），有：

  Wd =  ε A U^2 / (4 d)                            （电容内的电场能）
  Wad = ε A U^2 / (2 d)                            （电容反灌入电源的能量）
  Wbd = ε A U^2 / (4 d)                            （拉开电容极板时所作的功）

注意，这里所作功的大小是用能量守恒律间接推出的，即Wbx = Wax + ΔW。

既然是作功，自然可以直接按经典力学的方法求得Wbx。下面就给出另一种解法。

当电容极板拉开X后（即间距为d + X），电容极板间的电场强度为：

  E = U / (d + X)

电容两极板的吸引力为（注意，极板外电场为零）：

  F = Qx E / 2 = (ε A U^2 / 2) (1 / (d + X)^2)

按功的定义积分（积分限为0到X）得：

  Wbx = ∫ F dx = (ε A U^2 / 2) ∫ 1 / (d + x)^2 dx = - ε A U^2 (1 / (d + X) - 1 / d) / 2 = ε A U^2 X / (2 d (d + X))

这恰是前面的结果。再利用能量守恒定律，可以得到：

  Wax = Wbx - ΔW = ε A U^2 X / (d (d + X))

只看该作者 · 2011-4-13 09:32

本帖最后由 haibushuo 于 2011-4-13 09:57 编辑

回HWM：

5L里面的第一种方法，电容上的能量变化：
W=1/2（ΔC）U^2=1/2ΔQU
而相对于这部分电荷，在电源上所引起的能量变化：
W = - ∫ U I dt = - U ∫ I dt = - U ΔQ
同样的ΔQ引起的变化，为什么会有1/2的差别？

为什么对于电容来说
我就不能同样这样算：
将电容看成一个电源来对待
W = ∫ U I dt = U ∫ I dt = U ΔQ

2万 · 2011-4-13 10:22

re 6L：

|ΔW| = |Wx - W0| = ε A U^2 X / (2 d (d + X)) 是电容上的能量变化，
Wax = - ∫ U I dt = - U ∫ I dt = - U ΔQ = ε A U^2 X / (d (d + X)) = 2 |ΔW| 是电容反向流入电源的能量。

显然从电容流入电源的能量比电容自身能量的减小量要大（其实是其两倍）。是否能量不守恒了呢？当然不是，因为拉开电容极板时需要克服电荷的吸引力作功。

另，Wax = - ∫ U I dt 表示能量从电容流向电源（途经两者引线间的空间，注意，不是导体内）。实际上，理论上可以利用Poyinting矢量（能流密度）面积分后再对时间做积分得到。但既然有了电流和电压这两个电路参数（其实已经包含了场量的空间积分），自然利用其直接做时间积分更为方便，没必要再绕个大圈子。

只看该作者 · 2011-4-13 14:17

本帖最后由 haibushuo 于 2011-4-13 14:22 编辑

to HWM
用直观的方式来描述复杂的问题，在自己心里去建立一个好的模型，这个模型应该是自己所熟悉的我们不必去太过循规蹈矩，直接来建立我们的模型吧
首先是，能量的定义是W=∫ Pdt ,P=UI
对于电源来说，U和I是呈线性关系的，I=U/R，由负载决定的
而对于电容来说，U和I的关系却是：I=Cdu/dt
所以,P=UI=U*Cdu/dt=c*Udu/dt
那么，dw=p*dt=C*Udu 对dw进行积分，当然就是整个能量了W=∫C*Udu=1/2C *U^2
而对电源来说，线性关系的W=∫UIdt
这就是两个差异所在
那么，我来说一下这里的模型吧如图，都是从0变化到U，两种变化方式，一种是I=U/R，一种是I=C*du/dt 假如保证最后的I一样，那么，U-I所围成的曲面的面积，大家看看这两种的不同

2万 · 2011-4-13 16:58

本帖最后由 HWM 于 2011-4-13 17:04 编辑

to 8L:

对于固定电容器充电至电压U，其内的电场能就是C U^2 / 2。这可以由如下简单推导

  Wc = ∫ u i dt = ∫ u (C du/dt) dt = C ∫ u du = C U^2 / 2

其中利用了关系式 i = C du/dt，以及定容（即C为常数）条件。

对于固定电阻（加固定电压）或电压源，则有如下式子

  Wr = ∫ u i dt = u ∫ i dt = u Q

即净电荷Q通过电势差U（即电压）所作的或消耗的功。这里u设为常数。

对于固定电阻而言，定流则有定压（反之亦然），所以 i u 相对于时间 t 来说是个常数。所以功可以简单地表为 i u T（矩形面积积分）。

对于固定电容来说，定流则有线性上升的电压（u = i t / C），其中 i 设为常数。所以功同样可以简单地表为 i U T / 2 = C U^2 / 2（三角形面积积分）。这里利用了 T = C U / i 的关系。

其实，类似的 1/2 还会出现在其他地方，如：

  电感磁能 = L I^2 / 2
  电场能密度 = ε E^2 / 2
  磁场能密度 = μ H^2 / 2

等等。

只看该作者 · 2011-4-13 19:22

to HWM
电容的能量，移动极板，导致电流的产生，通过磁场能量传导给个电源，这个导线只是去波导的作用的
这个观点，您之前也提过的。
现在我的问题是，在这个情况下，这个位移电流，和通过导线传导到电源的那里的传导电流，他们是一样的吗？
位移电流和这个传导电流是大小一样的吗？
如何通过电流返回去算磁场呢？
磁场的旋度是电流，但是，知道电流的话，是否可以返回来算磁场呢？

2万 · 2011-4-13 19:50

to 10L:

拉开电容极板，电容电压会提高（源于作功）。因此，若电源接在电容上，就会有电流反向灌入电源内。有电流自然有磁场，如此，EXH 就出来了。

位移电流，这里基本是被忽略的，注意我所说的“慢慢地拉”。也就是拉的速度很慢，基本是时刻处在静场的稳态下。

由电流算磁场，理论上可以通过毕奥—萨伐尔定律积分求得。但通常是相当困难的，除非是特殊的空间对称场。对于一些特性的情况，如孤立的长直导线和长螺线管等，还可以利用安培电流定律计算由电流所产生的磁场。

只看该作者 · 2011-4-13 20:13

to HWM:
回到首帖，假如要求在移动电容板的过程中的电流的表达式，能求出来吗？

2万 · 2011-4-13 20:21

re 12L:

可以，就是 Qx 对时间求导，即dQx/dt

Qx = Cx U = ε A U / (d + X)

具体如何应该不难吧。

注意，这里前提还是不能拉得太快了。

只看该作者 · 2011-4-14 06:34

我有个疑问，如果同样的条件，只是初始平板电容之间有一个电解质板，电容容值是C

将电解质板子抽走，电容值变为 C/2

那么能量流动应该还是跟帖子的模型是一样的。

但，问题是从平板电容中间平行拿掉电解质板，外力也需要做功吗?

只看该作者 · 2011-4-14 07:54

14# mmax

电容两极板直接存在着电场，电解质板抽走，想象切割磁感线，外力也要做功的吧？
C=ε S/4PIKd
C还是变成1/2，上面的计算过程完全一样哟

只看该作者 · 2011-4-14 07:56

toHWM
我一直记得C=ε S/4πKd
可是看你们一直说C＝ε S/d
难道4πK=1？

2万 · 2011-4-14 08:56

to 14L：

如果电容极板间填充有电介质（不妨设其相对介电常数为2），充电至U后将其中的电介质抽出。如此，情况是类似的。抽出介质时同样需要作功，原因在于介质极化后存在面电荷（束缚电荷），而此电荷和极板电荷会有吸引力。其实，如果把这个过程反过来看——即让电介质由外到内插入电容极板间，则根本就无需施加力，其自动会被吸引入内。

2万 · 2011-4-14 09:26

to 16L：

并行板电容（面尺度比间隙大很多的话）的电容量就是 C = ε A / d，其中 A 为面积 d 为间隙。那个4π源于“球”，这里没有。K则是已经在介电常数 ε 之内了。

另外想补充一点，就是你10楼提到的“位移电流”。确实，如果作一个电容两极板间的平行面，面积分得到的位移电流（∫ε (dE/dt) ds）和导线上的传导电流大小一致，前提是电容极板外无电场变化（那当然是近似）。