离散付利叶级数（DFS）
为推导离散付利叶级数（DFS，Discrete Fourier Series），首先考虑（1）、（2）连续周期函数的付利叶级数（CFS，Continuous Fourier Series）
――――――――――――――――――――（1）
－―――――――――――――――――――（2）
离散周期函数可以看作连续周期函数 经过取样得到的序列 ，为保证序列 为周期序列，取样周期必须是连续函数周期的整数倍，即 ， 。
―――――――――――（3）
对（3）式进行如下运算：
―――――――――――――――――――――――――（5）
由于 ， （5）式变为
，由此得到
，即
―――――――――――――――（6）
（6）式说明，连续周期函数的付利叶级数前k项系数也可以由该函数一个周期内的N个采样值唯一确定。
但是，N的取值必须满足Nyquist采样定理。假设 基波频率为f，最高次谐波为m次谐波，则采样频率应满足
采样点数
上式说明，一个频带有限的连续周期信号，如欲计算付利叶级数中最高次谐波对应的付利叶系数，采样点数必须大于最高谐波次数的二倍。比如 ，可以计算k = 0, 1, 2, …… m, ……2m次谐波对应的付利叶系数，但k = m, m+1, m+2, ……2m对应的付利叶系数应该是k = 0, 1, 2, …… m-1的重复。
在（6）式基础之上引入新的序列：
――――――――――――――――――（7）
对（7）式进行如下运算：
――――――――――――――――――――――――（8）
由于 ， （8）式变为
，即
，或者
―――――――――――――――――――――（9）
（9）式定义为时间离散周期信号得离散付利叶级数；（7）式即离散付利叶系数表达式。
离散付利叶级数表达式重写如下：
――――――――――――――――――――（10）
－――――――――――――――――――――（11）
离散时间付利叶变换（DTFT）
假设有连续时间非周期信号 ，以取样周期 对其进行理想采样，全部取样值依照如下规则构造新的时间函数或者说信号 ：
------------------------------------------------（1）
还是这些取样值，依照如下规则构造时间序列，或者说离散时间信号 ：
-------------------------------------------------------（2）
特别注意！（1）和（2）式有本质区别：
为连续时间函数，其函数值在采样点等于连续函数 的函数值；在非采样点，函数值为零。
为离散时间函数，其函数值在采样点等于连续函数 的函数值；在非采样点，函数无定义。
对（1）式做付利叶变换，
----------------------------------------------------（3）
以数字角频率 ，代替（3）式中的模拟频率 ，即定义为离散时间信号 的离散时间付利叶变换（DTFT，Discrete Time Fourier Transform）：
，记为
----------------------------------------------------------（4）
显然， ，为周期函数，最小正周期为 。再次体现了“时间域离散性、频率域周期性”的规律。
DTFT存在的条件是要保证（4）式收敛，要求 ，或者 。因此能量信号均存在DTFT。
为导出离散时间付利叶变换的逆变换（IDTFT，Inverse Discrete Time Fourier Transform），对（4）式做如下运算：
-----------------------------------------------------（5）
又由于 ，故（5）式变为，
，由此得到 ，即
----------------------------------------------（6）
（6）式即离散时间付利叶变换的逆变换：
---------------------（7）
（7）式说明， 为离散时间信号 的频谱密度。
离散时间信号 ，在满足绝对可和的条件下，存在离散时间付利叶变换。离散时间付利叶变换及其逆变换分别为：
---------------------（8）
----------（9）
或者
离散付利叶变换（DFT）
应用数字式计算机进行信号处理，信号必须满足两个最基本的要求：
1） 在时域、频域均为离散序列；
2） 在时域、频域，均为有限长离散序列。
离散时间周期信号，频域表示形式为离散时间傅利叶级数（DTFS），在时域、频域均为离散、周期序列，一个周期内的有限个数据（时域取样值、频域取样值）即包含了信号的全部信息特征，能够应用数字式计算机进行分析、处理。
有限长离散时间信号，是广泛存在的一类信号，其频域表示形式为离散时间傅利叶变换（DTFT），频域连续性，不便于计算机分析、处理。
为便于计算机分析、处理，必须为这类信号寻找一种时域、频域均为离散的表示形式，一个域内的离散性，意味着另一个域内的周期性；周期性，使得信号的全部信息可以通过有限个取样值来表征。
这种方法的实质就是时域的周期延拓，完成时域的周期化的同时实现了频域的离散化。这种周期化的离散时间信号的离散时间傅里叶级数（DTFS），就定义为原信号的离散傅利叶变换（DFT，Discrete Fourier Transform）。
因此，离散傅里叶变换，是针对周期化了的、离散时间周期信号的数**算，所以由离散傅里叶变换表示的是周期化了的、离散时间周期信号的频域特征，这个周期化了的、离散时间信号的第一个完整周期才是原有限长离散时间信号。但这种算法却被人为定义为原来有限长离散时间信号的离散傅里叶变换（DFT）。
假设有限长离散时间信号 ，长度为N。以N为周期对 进行周期延拓，得到离散时间周期信号 ，其傅利叶级数的系数
定义为有限长离散时间信号 的离散傅利叶变换（DFT）。
以离散时间周期信号 的主值区间（第一个周期）表示有限长离散时间信号 。因此，有限长离散时间信号的离散付利叶变换及其逆变换分别为：
----------------------------（1）
----------------------（2）
对于一般性的无限长连续时间信号，一般采用如下近似方法进行计算机分析预处理：
1） 时域截断（Truncation）：无限长连续时间信号变换为有限长连续时间信号；
2） 时域取样（Sampling）：进一步变换为有限长离散时间信号。
3） 求解上述步骤得到的有限长离散时间信号的离散傅利叶变换（DFT），进行频谱分析。
上述方法，由于存在时域截断、时域取样过程，以及离散傅里叶变换算法中的时域周期延拓过程，必然是一种近似的分析方法。
时域取样带来的误差，表现为频谱混叠，取样过程满足奈奎斯特定理时，可避免频谱混叠现象；时域截断带来的误差，表现为频谱泄漏，可通过增加时域截断长度、采用合适的窗函数、校正技术等手段减小频谱泄漏。 |
