我也只是说说我个人的理解,我不做信号处理,所以我的理解或许是错的,仅供探讨
积分变换最初是用于解微分方程,特别是高阶微分方程,通过积分变换转化为简单运算,再反变换回去.
其中变换规则与反变换规则都是经由严格的数学推导得到的.意思是,积分变换就是纯数学的运算规则.
这种运算规则针对的是一个函数,即把
y = g(x) 转换为 Y = G(X)
直观的说就是把y-x坐标平面转化为Y-X坐标平面,即所谓"域"转换.
这时的X只是一个自变量,或是一个算子,存在于公式而不见得对应到现实.
数学上,一个任意函数g(x),总是能够被某个完备正交集G(X)表示.换句话说,在公式上,完备正交集G(X)可以看作是g(x)的分量,即
g(x) = A1*G1(X) + A2*G2(X).....
写成积分就和傅立叶变换式具有相同形式了,积分就是要"完备",要无穷逼近.
对任意时域信号f(t),一样可以看作是某个完备正交集F(T)的合成.这里T表示某个"域",完备正交集有无数个,单纯从数学上可以把时域信号f(t)经过
不同的变换规则映射到任何一个域上去.
当积分变换结合到系统理论的时候,傅立叶换变就应运而生了.
这时候的积分变换就不仅仅是建立在严谨的纯数学推导了,还需要具有很现实的物理意义.
单频信号的函数式是正/余弦函数, 正/余弦函数系是完备正交集, 所以当T = w,把f(t)映射到F(w)就是今天的傅立叶变换.简单的说,这个变换的物理意义就是一个连续的时域信号,可以表示为无穷多不同频率成份的单频信号的合成.这些分量的权重可以由变换式(即变换规则)计算得到.
这样就完成了具有物理意义的域的映射变换,剩下的,就是根据变换规则做纯数学的研究和计算了.比如谱分析,零/极点分析,传递函数和滤波器设计.包括后续的s变换和z变换,都是进行的数学扩展.
将F变换乘上衰减因子以保证收敛,从而拓展变换定义域,成为L变换;离散傅立叶变换乘以衰减因子以保证收敛(绝对可和),成为Z变换. |
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