请教前辈傅里叶变换，拉氏变换，z变换的意义

只看该作者 · 2011-6-2 17:58

大学里我们学习了傅里叶变换，拉氏变换（模拟），z变换（数字），当时学的时候都是学的怎么计算这些变换，功力不够，也不能将他们的物理意义联系起来考虑，为什么要引入这些变换，有什么意义，这个问题可能需要有足够积累的前辈才能很到位的分析上来，恳请坛里的前辈多多指教？先谢过

2万 · 2011-6-2 23:00

re LZ:

你所说的那些个“变换”只是换了个角度来看待同一个对象而已。就信号而言，通常我们所直接感知到的一列随时间变化的数据（实际表现为某种物理量），但这不是唯一可以描述此信号的视角。换个角度（如频率）来表述同样一个对象也许会更方便且更能突现其本质特性。你所提到的那些“变换”就是这些不同视角间的桥梁，没什么特别神秘的。

如果你的世界存在于频域里面，也许对“调制”、“解调”、“带宽”、“频分”等概念习以为常，但却对“脉宽”、“上升下降沿”、“时序”等概念难以理解。如此，若能换个角度到时域里来，这些将可能变得非常的简单。其实，这种关系不仅存在于信号里，物理世界中的位置空间和动量空间也是两个完全不同的描述问题的视角，而这两个视角间的关系就是我们所熟悉的“时频域”关系（严格来说是“空频域”关系）。

从表面上来看，时频域间的变换有多种形式，但基本可分成三个层次：1）拉普拉斯变换——适合于一般函数（或信号）的变换，时频域变换的最一般形式；2）傅立叶变换——拉普拉斯变换的变形，同样适应于一般函数；3）傅立叶级数变换——仅适用于周期函数（或信号），这是最为常用的时频域变换，因为实际有用的信号通常是周期性的；4）Z变换——离散化（或数字化）的形式，这是时频域变换在数字化处理时代的必然产物。

总之，不管其形式有多么繁多，此仅为看待问题的两种不同视角间的关系或变换而已。变换不重要，了解分析和处理问题的不同视角才是本质。

只看该作者 · 2011-6-2 17:59

只是为了方便计算？

2万 · 2011-6-2 19:11

杀龙的本事,不满你说,俺都退休了,竟一次也木油拉过,哈哈

只看该作者 · 2011-6-2 20:19

顶偶们用的上

只看该作者 · 2011-6-2 20:20

杀龙的本事,不满你说,俺都退休了,竟一次也木油拉过,哈哈
tyw 发表于 2011-6-2 19:11

大叔用空可以拉一拉 ;P

只看该作者 · 2011-6-2 20:33

这些内容属于数学分析，显然就是从另一个角度，用分析的眼光来看待事物

只看该作者 · 2011-6-2 21:11

3# tyw t叔，在看模电基础和数字信号处理的时候还是会遇到拉式变换和z变换，所以很想了解为何会引入这些变换

只看该作者 · 2011-6-2 21:13

很想知道HWM老师对这个问题是如何看的:)

只看该作者 · 2011-6-2 22:10

百度知道上的

傅里叶变换的实质是将一个信号分离为无穷多多正弦/复指数信号的加成，也就是说，把信号变成正弦信号相加的形式——既然是无穷多个信号相加，那对于非周期信号来说，每个信号的加权应该都是零——但有密度上的差别，你可以对比概率论中的概率密度来思考一下——落到每一个点的概率都是无限小，但这些无限小是有差别的

所以，傅里叶变换之后，横坐标即为分离出的正弦信号的频率，纵坐标对应的是加权密度

对于周期信号来说，因为确实可以提取出某些频率的正弦波成分，所以其加权不为零——在幅度谱上，表现为无限大——但这些无限大显然是有区别的，所以我们用冲激函数表示

已经说过，傅里叶变换是把各种形式的信号用正弦信号表示，因此非正弦信号进行傅里叶变换，会得到与原信号频率不同的成分——都是原信号频率的整数倍。这些高频信号是用来修饰频率与原信号相同的正弦信号，使之趋近于原信号的。所以说，频谱上频率最低的一个峰（往往是幅度上最高的），就是原信号频率。

傅里叶变换把信号由时域转为频域，因此把不同频率的信号在时域上拼接起来进行傅里叶变换是没有意义的——实际情况下，我们隔一段时间采集一次信号进行变换，才能体现出信号在频域上随时间的变化。

我的语言可能比较晦涩，但我已尽我所能向你讲述我的一点理解——真心希望能对你有用。我已经很久没在知道上回答过问题了，之所以回答这个问题，是因为我本人在学习傅里叶变换及拉普拉斯变换的过程中着实受益匪浅——它们几乎改变了我对世界的认识。傅里叶变换值得你用心去理解——哪怕苦苦思索几个月也是值得的——我当初也想过：只要会算题就行。但浙大校训“求是”时时刻刻鞭策着我追求对理论的理解——最终经过很痛苦的一番思索才恍然大悟。建议你看一下我们信号与系统课程的教材：化学工业出版社的《信号与系统》，会有所帮助。

只看该作者 · 2011-6-2 22:19

9# batsong
有帮助，感谢！！

只看该作者 · 2011-6-2 22:40

实践出真知，我读书的时候根本不懂，工作后要分析问题了才明白其意义。
多实践吧

只看该作者 · 2011-6-2 22:58

据我很浅薄的理解。。。
拉屎好像是连续信号分析的
Z变换就是离散的
傅里叶还是很直观的吧。用正弦这个正交函数可以表示其他任何函数

2万 · 2011-6-2 23:06

好贴先占个位子

只看该作者 · 2011-6-3 02:30

软件无线电会用的上

1万 · 2011-6-3 08:33

大侠就是大侠！  以前看过圈圈对FFT变换做过解释，在未经他允许之前我转发一下！
FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如
果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱
提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。
虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用
多少点来做FFT。
现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样
定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就不在此罗嗦了。
采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT
运算，通常N取2的整数次方。
假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率
点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT
的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量
的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个
点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示
采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。
由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。
1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时
间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和
采样时间是倒数关系。
  假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，
就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：
      An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。
对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。
由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。
好了，说了半天，看着公式也晕，下面圈圈以一个实际的信号来做说明。
假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、
相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下：
      S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)
式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。
按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号
有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢？
我们来看看FFT的结果的模值如图所示。

                  图1 FFT结果
从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：
1点： 512+0i
2点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
3点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i
50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51点：332.55 - 192i
52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i
75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76点：3.4315E-12 + 192i
77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i

很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。
接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，结果如下：
1点： 512
51点：384
76点：192
按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2；50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的
幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来的幅度是正确的。
然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管它。先计算50Hz信号的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,
结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再计算75Hz信号的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，
换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达
式了，它就是我们开始提供的信号。
总结：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值
除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算
可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值，范围从-pi到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒
的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成
分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度
达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。具体的频率细分法可参考相关文献。
[附录：本测试数据使用的matlab程序]
close all; %先关闭所有图片
Adc=2;  %直流分量幅度
A1=3; %频率F1信号的幅度
A2=1.5; %频率F2信号的幅度
F1=50;  %信号1频率(Hz)
F2=75;  %信号2频率(Hz)
Fs=256; %采样频率(Hz)
P1=-30; %信号1相位(度)
P2=90;  %信号相位(度)
N=256;  %采样点数
t=[0:1/Fs:N/Fs]; %采样时刻
%信号
S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
%显示原始信号
plot(S);
title('原始信号');
figure;
Y = fft(S,N); %做FFT变换
Ayy = (abs(Y)); %取模
plot(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT模值结果
title('FFT 模值');
figure;
Ayy=Ayy/(N/2); %换算成实际的幅度
Ayy(1)=Ayy(1)/2;
F=([1:N]-1)*Fs/N; %换算成实际的频率值
plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2)); %显示换算后的FFT模值结果
title('幅度-频率曲线图');
figure;
Pyy=[1:N/2];
for i="1:N/2"
Pyy(i)=phase(Y(i)); %计算相位
Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %换算为角度
end;
plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2)); %显示相位图
title('相位-频率曲线图');
                        (By  computer00 @2008-05-15)

1万 · 2011-6-3 08:36

图1

只看该作者 · 2011-6-3 08:38

习惯了时域。。。。。。。。。。。

增加一个复数虚部的讨论。。。

只看该作者 · 2011-6-3 09:38

谢谢各位的回复，结贴散分，下来慢慢消化:)

3万 · 2011-6-3 09:42

变换只是为了换一种描述方式，就比如layout的时候，有些人习惯用mm作单位来度量间距，有些人喜欢用mil来度量间距，两种方式都可以描述间距的大小，有些人用mm来描述觉得更顺手，有些人用mil更顺手，这实际也算一种简单的变换，而傅立叶，拉氏变换也只是为了换个形式来描述某些物理量而已，但是这种变换的作用显然要强大于mm和mil之间的变换，很多问题在时域分析起来是比较麻烦滴，比如频谱问题，以幅频为特例吧，给你个时域描述，恐怕你很难直观看出个中频率成分的幅度相对关系，但是如果转换到频域来描述该信号，幅频关系就直接被直观的描述出来，一目了然

请教前辈傅里叶变换，拉氏变换，z变换的意义

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