“A=B+C”，虽然常见，但你未必熟悉（甚至知道）....

发表于 2018-6-15 12:14

先引前贴

由“小学算术”——实数公理，所引出的....
https://bbs.21ic.com/icview-2520882-1-1.html

前帖说了

1 - 1 + 1 - ... ≠ 1/2

1 + 1 + 1 + ... ≠ -1/2

1 + 2 + 3 + ... ≠ -1/12

和

1 + 2 + 4 + ... ≠ -1

其实，利用常识（公理）就可以作出正确的判断。有了正确判断还稍显不够，下面将具体看一个基本结构，从中可以看出更多的东西。

发表于 2018-6-15 12:15

下面分析一下“A=B+C”结构，具体为

A(x,λ) = B + C(x,λ)

其中，x和λ是两个参数，x趋于某个极限（譬如∞）而λ为某属性参数（未必是数值变量）。在x趋于某个极限下，C有如下收敛性

lim[x→∞]C(x,λ) = 0 (λ∈ROC)

显然

lim[x→∞]A(x,λ) = B (λ∈ROC)

发表于 2018-6-15 12:16

现在来看看“A=B+C”结构的几个实际应用：

一、拉普拉斯变换

拉普拉斯变换其实就是一种积分变换，其积分是个广义（或反常）积分。这里的广义积分是在无穷大积分限上的定积分，涉及到积分限趋于无穷大的极限。对照“A=B+C”，拉普拉斯变换在此就是“lim A”，而积分所得“解析函数”（“B”）仅在收敛域内（λ∈ROC）等于“lim A”（此时lim C = 0）。

这里需要再次强调一下，拉普拉斯积分变换（广义积分）是“lim A”而非“B”。在拉普拉斯反变换中，按定义其积分路径是在ROC内的一条直线（具体见“21学堂”中的相关帖子），这保证了“lim A”的收敛。至于利用解析延拓对相关积分路径的调整，其必须建立在拉普拉斯反变换原始定义以及相关具体拉普拉斯变换解析式的特性基础之上。

无论如何，改变不了“拉普拉斯积分变换（广义积分）是‘lim A’而非‘B’”的本质。

关于拉普拉斯变换的“A=B+C”结构，具体看下例。注意其中的红字部分，其就是“lim C”。

登录 · 发表于 2018-6-15 12:21

指数函数拉普拉斯变换

发表于 2018-6-15 12:23

二、Z变换

Z变换其实就是罗朗级数，其系数为离散时空函数（或信号）。对照“A=B+C”，类似拉普拉斯变换，显然Z变换就是“lim A”而非“B”。只有在“lim C = 0”(λ∈ROC)的条件下，才有“lim A = B”。

对于阶跃函数，Z变换就是一个极为简单的等比级数，而等比数列及其级数在中学就学过。下面给出等比级数的“A=B+C”结构，注意其中的红字部分，其就是“lim C”。

登录 · 发表于 2018-6-15 12:25

等比级数

发表于 2018-6-15 12:26

三、运放电路

运放电路同样具有“A=B+C”结构，只是这里的“x”是时间而“λ”表示负或正反馈连接。这里的运放采用最简单的模型——一阶模型，且在此看看运放电路的最简单形式——跟随器。同样注意其中的红字部分，其就是“C”。

登录 · 发表于 2018-6-15 12:28

跟随器1

发表于 2018-6-15 12:29

从上面的“A=B+C”形式结构表示可知，负反馈下，随着时间的增加其“C”按指数律衰减至零。这里特别强调一点，运放电路的输出是“A”而非“B”，负反馈前提下，随着时间趋于无穷，有“lim A = B”（因“lim C = 0”）。作为比较，这里一并给出了正反馈下的情况。

由于通常情况下运放的直流增益非常大，虽然其带宽不宽但其增益带宽积相对也很大，所以负反馈下其“C”会随时间快速衰减至零，见下图。

登录 · 发表于 2018-6-15 12:30

跟随器2

发表于 2018-6-15 12:31

对于理想运放模型（直流增益和带宽都为正无穷大），下面给出其跟随器响应，注意相关正反馈下的对比。

登录 · 发表于 2018-6-15 12:31

跟随器3

发表于 2018-6-15 12:33

从上面所给出的例子可见，运放电路在负反馈和正反馈这两种情况下其响应截然不同，原因就在于“C”随时间的变化在这两种情况下截然不同。运放电路的输出是“A”（A=B+C）而非“B”，其受到“C”的制约影响。由此可见，要想得到跟随传递函数特性，跟随器必须连接成“负反馈形式”。“正反馈形式”下根本就不是跟随器，其也不具备跟随器的传递函数特性。

发表于 2018-6-15 12:33

四、含受控源电路

含受控源电路的分析，一般必须考虑受控源的动态特性（至少一阶）。下面引一例：

https://bbs.21ic.com/icview-2513568-1-1.html

发表于 2018-6-15 12:34

前面所说的例子，涉及的都是“A”。在“lim C = 0”的前提下，可以考虑“lim A = B”，即用“B”来替代“A”的极限。

下面来看看涉及到“B”的应用，即“微扰”。

“微扰”在理论和工程技术上都有应用。理论上，特别是《量子力学》中，微扰论起着重要的作用，其不仅是理论的拓广，也是近似计算的理论基础。工程上，《微波工程》中也有“微扰”的应用，视情况在以后的相关专题论述和讨论中再作具体介绍。

发表于 2018-6-15 12:35

这里稍微简单介绍一下微扰方法：

设有一已知的系统（譬如哈密顿量H0），施加一微扰，假设其系统变化了λH',即

H = H0 + λH'

然后，关于系统某特征（譬如能量E(H0+λH')），对λ作展开分析。

关于系统特征（E）这里涉及到两个概念，其一是“微扰”展开，这里用“EA”表示；其二是实际系统的特征，这里用“EB”表示。按“A=B+C”结构，可以表述成如下形式

EA = EB + EC

“EB”是要研究的实际对象特征，而“EA”是其微扰近似，“EC”是其误差。

通常，lim EC = 0，即微扰展开收敛。微扰理论不仅可以进行近似计算，还能估计其误差，所以这就给出了一种理论逼近的方法，此也是微扰论的理论价值。

发表于 2018-6-15 12:36

这里，不想具体论述微扰理论，只是看看其一个特殊情形（即发散的情况）。

在《量子场论》和《弦理论》中，通常会遇到发散的情况，但现实世界并不发散，其都是有限的。究其原因其实就是下面这个等式

EA = EB + EC

其中“EB”是现实世界，而“EA”是某种展开分析。

由于在《量子场论》和《弦理论》中，此类展开通常是不收敛且还发散至无穷大（即lim EC = +∞），所以必须发展出一套理论，其能够去除其中的发散项“EC”而获得真实世界的相关理论特征“EB”，这就是重整化理论。

重整化理论涉及到相关物理和数学，这里不想展开。在此仅给出些式子，以便与“A=B+C”结构有个对比。见下式

登录 · 发表于 2018-6-15 12:38

重整化

发表于 2018-6-15 12:39

上述也可称为黎曼ζ函数重整化。

利用黎曼ζ函数作为相关级数

1/1^s + 1/2^s + 1/3^s + ...

的解析延拓，然后针对发散级数（s = -1）

1 + 2 + 3 + ...

去除其发散项，保留黎曼ζ函数在此点的值（-1/12）。

经实验验证，“-1/12”符合实验结果，这就是现实世界中的“EB”.

注意

1 + 2 + 3 + ... = lim EA ≠ EB = -1/12

因为

lim EC ≠ 0

发表于 2018-6-15 12:40

1 - 1 + 1 - ... ≠ 1/2

1 + 1 + 1 + ... ≠ -1/2

1 + 2 + 3 + ... ≠ -1/12

和

1 + 2 + 4 + ... ≠ -1

这些极为显然的常识，为何都有人敢忽悠呢？这其实是人之本性所然。

后面将开帖说点“人性”、“哲学”和“科学”。

“A=B+C”，虽然常见，但你未必熟悉（甚至知道）....

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