除了对数学分析在18世纪建立的主要分支有开拓性贡献外，他对严格化问题也开始注意．尽管回避了极限概念，但他仍承认可以在极限基础上建立微积分(《文集》Ⅰ，p．325)．但正是对严格化重视不够，所建立的分支到一定阶段就很难深入．这可能是他晚年研究工作少的原因．他在1781年9月21日给达朗贝尔的信中说：“在我看来，似乎(数学)矿井已挖掘很深了，除非发现新矿脉，否则势必放弃它…．”(《文集》XⅢ368．)这说出了他和其他同事们的心情．事实表明，19世纪在建立数学分析严格基础后，数学更迅速地发展．
分析力学的创立者 牛顿的力学理论仍用几何方法讨论．到18世纪中期，欧拉和达朗贝尔开始用分析方法，而拉格朗日在使力学分析化方面最出色，他在1788年出版的《分析力学》一书，就是分析力学这门学科建立的代表作．他一生的全部力学论文以及同时代人的力学贡献，都归纳到这部著作中．他的研究目的是使力学成为数学分析的分支．他在《分析力学》的序言中说：“…我在其中阐明的方法，既不要求作图，也不要求几何的或力学的推理，而只是一些按照一致而正规的程序的代数(分析)运算．喜欢分析的人将高兴地看到，力学变成了它的一个新分支，并将感激我扩大了它的领域．”实际情况正是这样．
拉格朗日在这方面的最大贡献是把变分原理和最小作用原理具体化，而且用纯分析方法进行推理，成为拉格朗日方法．
他首先引入广义坐标概念，故广义坐标又称为拉格朗日坐标．一个力学系统可用有限个坐标qj(j=1，2，…，N)表示；qj= dqj/dt为相应的广义速度．力学系统总动能T(拉格朗日称之为活力)表为qj•qj和时间t的函数后，定义
为作用，最小作用原理成为δI=0．拉格朗日用变分法讨论δI=0时，导出了力学系统的运动方程为
其中Qj为力学系统受到的作用力在广义坐标中的表达式，称为广义力．如力为保守的，则存在势函数V，(16)式成为
(16)或(17)式就是第二类拉格朗日方程．后来S．D．泊松(Poisson)等引入函数
L就取名为拉格朗日函数．
拉格朗日还把这些方法用于研究质点组，刚体和流体．在流体力学中讨论流体内各点的运动方法仍称为拉格朗日方法．
最后收集到《文集》中的《分析力学》是第二版，共分两卷，785页．第一卷中一半讲述“静力学”，主要讨论质点组和流体的平衡问题．从分析静力学原理开始，讨论了质点组和流体的平衡条件，并用于研究行星的形状．第一卷后半和第二卷全部讨论“动力学”．
动力学部分共分为十三章，前四章讲述动力学原理和建立质点系统运动方程的拉格朗日方法，包括(16)，(17)式的推导以及运动的一般性质．第五章“用任意常数变化解动力学问题的一般近似方法”中，把他在微分方程解法中的任意常数变异法用于解动力学方程．后面讨论了一阶近似的求积方法．第七章“关于能看作质点的自由物体系统在引力作用下的运动”主要讲天体力学的基本问题．第八、九章讨论不动中心吸引问题和刚体动力学．第十章讨论地球自转和月球天平动．最后三章讨论流体动力学基本问题，作为拉格朗日方法的应用．
拉格朗日创立分析力学使力学发展到新的阶段．拉格朗日方程(16)，(17)式推广了牛顿第二运动定律；使得在任意坐标系下有统一形式的运动方程，便于处理各种约束条件等优点，至今仍为动力学中的最重要的方程．在《分析力学》第二版印出(第二卷1816年)后不久，W．R．哈密顿(Hamilton)于1834年提出广义动量并建立哈密顿正则方程，又同K．G．雅可比(Jacobi)一起建立哈密顿-雅可比方法(1837)后，分析力学正式奠基建成，很快用到各学科领域．
天体力学的奠基者 天体力学是在牛顿发表万有引力定律(1687)时诞生的，很快成为天文学的主流．它的学科内容和基本理论是在18世纪后期建立的．主要奠基者为欧拉，A．C．克莱罗(Clairaut)、达朗贝尔、拉格朗日和拉普拉斯．最后由拉普拉斯集大成而正式建立经典天体力学．拉格朗日一生的研究工作中，约有一半同天体力学有关，但他主要是数学家，他要把力学作为数学分析的一个分支，而又把天体力学作为力学的一个分支对待．虽然如此，他在天体力学的奠基过程中，仍有重大历史性贡献．
首先在建立天体运动方程上，拉格朗日用他在分析力学中的原理和(16)，(17)式，建立起各类天体的运动方程．其中特别是根据他在微分方程解法的任意常数变异法，建立了以天体椭圆轨道根数为基本变量的运动方程，现在仍称作拉格朗日行星运动方程，并在广泛应用，此方程对摄动理论的建立和完善起了重大作用，方程在1780年获巴黎科学院奖的论文“彗星在行星作用下的摄动理论研究”(Recherches sur la théorie des perturbations queles comètes peuvent éprouver par l'action des planètes)［13］中给出，得到达朗贝尔和拉普拉斯的高度评价．另外在一篇有关三体问题的获奖**中［8］，把三体问题的运动方程组第一次降到七阶．
在天体运动方程解法中，拉格朗日的重大历史性贡献是发现三体问题运动方程的五个特解［8］，即拉格朗日平动解．其中两个解是三体围绕质量中心作椭圆运动过程中，永远保持等边三角形．他的这个理论结果在100多年后得到证实． 1907年2月22日，德国海德堡天文台发现了一颗小行星［后来命名为希腊神话中的大力士阿基里斯(Achilles)，编号588］，它的位置正好与太阳和木星形成等边三角形．到1970年前，已发现15颗这样的小行星，都以希腊神话中特洛伊(Troy)战争中将帅们的名字命名．有9 颗位于木星轨道上前面60°处的拉格朗日特解附近，名为希腊人(Greek)群；有6颗位于木星轨道上后面60°处的解附近，名为脱罗央(Trojan)群．1970年以后又继续发现40多颗小行星位于此两群内，其中我国紫金山天文台发现四颗，但尚未命名．至于为什么在特解附近仍有小行星，是因为这两个特解是稳定的．1961年又在月球轨道前后发现与地月组成等边三角形解处聚集的流星物质，是拉格朗日特解的又一证明．至今尚未找到肯定在三个拉格朗日共线群(三体共线情况)处附近的天体，因为这三个特解不稳定．另外，拉格朗日在一阶摄动理论中也有重要贡献，提出了计算长期摄动方法(《文集》Ⅴ，pp．125—414)，并与拉普拉斯一起提出了在一阶摄动下的太阳系稳定性定理(参见《世界著名科学家传记•天文学家Ⅰ》中“拉普拉斯”条)．此外，拉格朗日级数(8)式在摄动理论中有广泛应用．
在具体天体的运动研究中，拉格朗日也有大量重要贡献，其中大部分是参加巴黎科学院征奖的课题．他的月球运动理论研究论文多次获奖．1763年完成的“月球天平动研究”(Recherches sur laLibration de la lune)［6］获1764年度奖，此文较好地解释了月球自转和公转的角速度差异，但对月球赤道和轨道面的转动规律解释得不够好．后来在1780年完成的论文解决得更好(参见《文集》Ⅴ，pp．5—123)．获1772年度奖的就是著名的三体问题论文［8］，也是针对月球运动研究写出的．获1774年度奖的论文为“关于月球运动的长期差”(Sur l’equation séculaire de la lune)［9］，其中第一次讨论了地球形状和所有大行星对月球的摄动．关于行星和彗星运动的论文也有两次获奖．1776年度获奖的是他在1775年完成的三篇论文［10，11，12，］其中讨论了行星轨道交点和倾角的长期变化对彗星运动的影响．1780年度的获奖论文就是提出著名的拉格朗日行星运动方程的那篇［13］．
获1766年度奖的论文是“木星的卫星运动的偏差研究…”(Recherches sur les inégualités des satellites de Jupiter…)［7］，其中第一次讨论了太阳引力对木星的四个卫星运动的影响，结果比达朗贝尔的更好．
拉格朗日从事的天体力学课题还有很多，如在柏林时期的前半部分，还研究了用三个时刻的观测资料计算彗星轨道的方法(《文集)》Ⅳ，pp．439—532)，所得结果成为轨道计算的基础．另外他还得到了一种力学模型——两个不动中心问题的解，这是欧拉已讨论过的，又称为欧拉问题．是拉格朗日推广到存在离心力的情况，故后来又称为拉格朗日问题(《文集》Ⅱ，pp．67—121)．这些模型现在仍在应用．有人用作人造卫星运动的近似力学模型．此外，他在《分析力学》中给出的流体静力学的结果，后来成为讨论天体形状理论的基础．
总的看来，拉格朗日在天体力学的五个奠基者中，所做的历史性贡献仅次于拉普拉斯．他创立的“分析力学”对以后天体力学的发展有深远的影响．
结束语
拉格朗日是18世纪的伟大科学家，在数学、力学和天文学三个学科中都有历史性的重大贡献．但他主要是数学家，他最突出的贡献是在把数学分析的基础脱离几何与力学方面起了决定性的作用．使数学的独立性更为清楚，而不仅是其他学科的工具．同时在使天文学力学化、力学分析化上也起了历史性作用，促使力学和天文学(天体力学)更深入发展．由于历史的局限，严密性不够妨碍着他取得更多的成果．
拉格朗日的著作非常多，未能全部收集．他去世后，法兰西研究院集中了他留在学院内的全部著作，编辑出版了十四卷《拉格朗日文集》，由J．A．塞雷(Serret)主编，1867年出第一卷，到1892年才印出第十四卷．第一卷收集他在都灵时期的工作，发表在《论丛》第一到第四卷中的论文；第二卷收集他发表在《论丛》第四、五卷及《都灵科学院文献》第一、二卷中的论文；第三卷中有他在《柏林科学院文献》 1768—1769年， 1770—1773年发表的论文； 第四卷刊有他在《柏林科学院新文献》1774—1779年， 1781年，1783年发表的论文；第五卷刊载上述刊物1780—1783年，1785—1786年，1792年，1793年，1803年发表的论文；第六卷载有他未在巴黎科学院或法兰西研究院的刊物上发表过的**；第七卷主要刊登他在师范学校的报告；第八卷为1808年完成的《各阶数值方程的解**述及代数方程式的几点说明》(Traité des équations numériquesde tous les degrés， avec des notes sur plusieurs points de lathéorie des equations algébriques)一书；第九卷是1813年再版的《解析函数论，含有微分学的主要定理，不用无穷小，或正在消失的量，或极限与流数等概念，而归结为代数分析艺术》一书；第十卷是1806年出版的《函数计算教程》一书；第十一卷是1811年出版的《分析力学》第一卷，并由J．贝特朗(Bertrand)和G．达布(Darboux)作了注释；第十二卷为《分析力学》的第二卷，仍由上述二人注释，此二卷书后来在巴黎重印(1965)；第十三卷刊载他同达朗贝尔的学术通讯；第十四卷是他同孔多塞，拉普拉斯，欧拉等人的学术通讯，此二卷都由L．拉朗(Lalanne)作注释．还计划出第十五卷，包含1892年以后找到的通讯，但未出版 |
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