单片机/DSP数字化控制与Z变换满满的干货！

mega99 · 发表于 2023-1-26 11:24

本帖最后由 mega99 于 2023-2-4 09:46 编辑

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#申请原创#
我们知道，在利用单片机或者是DSP进行控制的时候，被控制量一般是模拟量，所以需要AD采样转换成数字量，

再通过数字量的变换处理去控制模拟量，这个过程实际就是数字信号处理的过程。这里讲下数字PID控制，在

网路上搜了下PID数字控制的相关资料，发现有部分的推导公式是错误的，而且没有一个采用Z变换来求解PID数字

控制序列信号，特别是在数字控制的离散化这块基本化是利用微分方程进行的，比喻 df(t)/dt ，那么数字离散成

f(n) - f(n-1) / T来近似(以下讲的都是右向序列，不对收敛ROC做讨论)，下面我用Z的反变换来推导PID的数字控制序列，这些

方法可以推广到其他的数字控制中，实现从f(t)-->F(s)-->F(z)-->f(k) 数字化控制，而Z变换就是这个利器，这中间还涉及零极点

的数字化补偿，这里主要是利用逆向Z变换来求数字控制序列 x[k]

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通过本贴，你将彻底弄明白PID数字控制的原理

下图是经典的PID控制框图

mega99 · 发表于 2023-1-26 11:46

本帖最后由 mega99 于 2023-1-26 14:34 编辑

对连续的模拟量f(t)采样，按理想的采样器完成模型建立就是 f(t) * δT(t)

在时间轴上离散化就是f(kT) * δT(t - kT) ,这就是f(t)在 δT(t - kT)的作用下得到一系列的幅度为f(kT)冲激串,

这个冲激串是离散的信号

这就是我们采样后得到的序列信号，这些信号可以直接存在的计算机或者控制的内存单元x[k]下图中es(t) = e(k) ,

这种离散信号可以直接存在x[k]数组中，完成了数字化的采样

mega99 · 发表于 2023-1-26 12:14

本帖最后由 mega99 于 2023-1-26 12:27 编辑

对于上式，两边取拉普拉斯变换就是离散的拉普拉斯信号，再映射到z平面就是z函数了
一般地，对一个模拟系统数字化控制，可以先求出系统的传递函数H(s) （这样更简单）

再通过s变换到z域，然后通过z函数求解差分方程，也就反变换求出序列信号f(k)，根据上图①的

模拟PID控制函数，很容易得到下面的传递函数H(s）

mega99 · 发表于 2023-1-26 12:33

本帖最后由 mega99 于 2023-1-26 12:34 编辑

通过后向差分，把H(s)转换成关于Z的H(z)函数，图④

mega99 · 发表于 2023-1-26 13:35

离散的拉普拉斯变换后是关于s的函数，现在要映射到关于z的平面上

令 z = e^(sT) ，实现了s-->z的映射

U(z)是一个关于z的幂级数

下面给出z的通项公式

mega99 · 发表于 2023-1-26 13:40

本帖最后由 mega99 于 2023-1-26 15:53 编辑

通过④式反Z变换，得到关于u(k)的序列信号图⑥

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mega99 · 发表于 2023-1-26 13:48

本帖最后由 mega99 于 2023-1-29 13:42 编辑

对⑥式进行合并化简后为下图式子，这个式子在网络上大部分是对的，实际控制中
为了调试方便还是不要PID三项控制分开

mega99 · 发表于 2023-1-26 14:14

本帖最后由 mega99 于 2023-1-29 13:42 编辑

转换成增量PID

zwjiang · 发表于 2023-1-26 15:28

学习学习

mega99 · 发表于 2023-1-26 15:32

本帖最后由 mega99 于 2023-1-29 13:47 编辑

上式转换成增量PID

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xch · 发表于 2023-1-26 17:16

宇宙第一了。

jameswangchip · 发表于 2023-1-26 20:15

好好学习！

dytg · 发表于 2023-1-26 21:31

谢谢分享。

王栋春 · 发表于 2023-1-26 22:16

学习了解一下，多谢楼主分享。

zyj9490 · 发表于 2023-1-27 00:07

okokoklokokk

shenwen2011 · 发表于 2023-1-27 02:12

谢谢楼主

apan · 发表于 2023-1-27 16:12

谢谢分享！

cooldog123pp · 发表于 2023-1-27 20:10

没有回复之前没有看到具体代码，希望回复以后能看到具体代码，还有能说下具体单片机型号。

发表于 2023-1-27 21:22

了解一下

w1w1 · 发表于 2023-1-28 09:41

挺复杂的，有简化的吗？

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