网友xukun977提到，人之所以能够听到“拍音”，是因为人耳的非线性响应引起的，如果人耳响应是线性的，那么就不能听到“拍音”了。关于这个问题，我也来参合一下，尝试从数学的角度来证明一下这种观点是错误的。
首先我要先澄清一下，我们这里所探讨的非线性，是指人耳对声音振幅大小响应的非线性，而非人耳能够听到声音大小的这种非线性，因为严格意义上说，如果对声音的响应是完全线性的，那么人将听不到正弦信号，因为其平均值为0。所以我们这里指的线性和非线性，是指对振幅大小的响应。
假设一个正弦信号的表达式为A*sin(ωt)，其中A为其振幅，ω是角频率。假设人耳对该信号的响应是线性的，那么当振幅A增大时，我们将听到声音增大；当振幅A减小时，我们将听到声音变小，这个大家没什么疑问吧？（事实上，只要人耳响应是单调的，我们就能感知到幅度A变化时的变化，而和人耳是不是非线性的没有关系）。
进一步，假设振幅A是随着时间的变化而变化的，那么我们将会听到大小随时间变化的声音，是不是？很自然地，我们可以把振幅A随时间t变化的这种关系，用一个函数来表示，即A=f(t)。特别地，我可以选取这个函数f(t)为一个余弦函数cos(at)，即A=cos(at)，其中a表示角频率，且其值很小，即变化较慢。那么我们将会听到一个声音大小随时间t变化而周期性变化的声音，准确来说，是听到一个声音大小按余弦函数cos(at)变化的声音（当然前提是人耳响应要是线性的）。OK，如果到这里你觉得按照前面的假设不能听到周期性变化的声音，那么就不用往下看了，否则，请继续往下看。
好了，我们听到的这个周期性变化的信号，就是：
A*sin(ωt) = cos(at)*sin(ωt) = sin(ωt)*cos(at)（将A用cos(at)代入然后交换）
按照三角函数的积化和差公式，有
sin(α)*cos(β)=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
我们将前面得到的sin(ωt)*cos(at)代入到这个公式，有
sin(ωt)*cos(at) = [sin((ω+a)t)+sin((ω-a)t)]/2 = 0.5*sin((ω+a)t) + 0.5*sin((ω-a)t)
从式中可以看到，我们刚刚听到的那个声音大小按余弦信号变化的信号，其实就是0.5*sin((ω+a)t) 和 0.5*sin((ω-a)t)这两个余弦信号的相加合成效果，即我们所说的“拍音”。由于cos(at)在一个周期内会出现一个波峰和一个波谷，所以我们在一个周期内会听到两次最大值和两次最小值（类似全波整流的波形），因此“拍音”的频率为信号cos(at)频率的两倍，即角频率为2a。而0.5*sin((ω+a)t) 和 0.5*sin((ω-a)t)这两个信号，可以分别看成是角频率为ω+a和ω-a的两个信号，其频率差刚好为2a。
不知道这样解释之后，能说明人之所以会听到“拍音”，和人耳的非线性无关了么？ |
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