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你真会求“和”吗:1+2+3…= -1/12 ?

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本帖最后由 雪山飞狐D 于 2018-6-21 11:59 编辑

看上去好像是一群国外的深井冰在试图糊弄着愚笨的欧洲人民,可惜流传到中国,中国学生的数学底蕴远远超乎那群英国佬的想象,一眼看破真相。民科再一次被火眼金睛的我们所识破,一切都是一个笑话罢了。
然而,真的到此为止了吗?这群英国佬当真只是无聊深井冰?貌似视频里的那个Tony还是诺丁汉大学的物理学家。啊呀呀,这么大的来头只是为了开个大众玩笑么?如果是错的,为什么这个式子会在物理学上有着深刻的影响与应用?
我们应该更冷静的思考一下,这式子的背后究竟是什么。
我们在求什么
事实上,就像在中学时,老师为了向学生们说明为什么圆锥的体积是同底等高圆柱体积的三分之一时,只是用一个圆锥型容器装了三次水然后正好倒满一个同底等高的圆柱型容器一样。中学老师不会真正给你讲述重积分的计算,Tony也不会真正告诉你全体自然数求和的数学背景。这些看上去是充满漏洞,其实只是为了给你演示这个结论的存在,而非严格意义上的证明。
为了追根溯源,我们应当先理解一个本质上的问题:我们在求什么?
看上去又是一个咬文嚼字的问题,但如果只是玩文字游戏扣定义细节,那我也没有写这些的必要了。
没错,我们是在求“和”,这个答案显而易见。然而,“和”的概念是怎样而来的呢?
对于有穷个数的相加,“和”的确定是无可争议的——加起来得到什么就是什么。
然而一旦被加数的项数变成了无穷大,我们就很难直接把我们要求的这个“和”给立马拎出来,而是需要用到极限的思想,去对我们的“和”进行一个逼近。
在大多数人接触到的传统的数学中,无穷级数的和是由这个级数前n项和来逼近的。
换句话说,对于一个级数

我们对它的前n项进行求和,得到一个数列{An},其中

是这个级数的前n项和,如果数列{An}收敛于A


则我们说该级数和为A。
以上,我们严格的给出了一个级数求和的方式:用级数的n项和去逼近其真实的值。按这种方式,我们得到的和是所谓的柯西(Cauchy)和。
我们有理由相信按照柯西和的方式求得的“和”是正确且严谨的,但是,我们有什么理由相信,就不存在其它的同样正确而严谨的途径,来求得无穷级数的“和”呢?
意大利数学家切萨罗(Cesàro),就提出了另一种方式去让我们求得无穷级数的“和”,同样利用极限去逼近,但切萨罗却是利用n项的部分和的平均来完成这件事。切萨罗定义了一个新的数列{Cn},其中


是这个级数的前n项部分和的平均,如果数列{Cn}收敛于C

则我们说该级数的和为C。
可以证明,如果级数在柯西和下求得结果为α,那么在切萨罗和下结果与柯西保持一致,也为α。
关于切萨罗和与柯西和的比较,我们暂且绕开计算复杂度不表,仅仅从数学的严谨性上来看,我们完全找不到一个理由去说:柯西和优于切萨罗和。我们应该认为,这两种求和的方式,起码在数学地位上是平等的
无独有偶,对于无穷级数“和”的定义,除了切萨罗和外,还有阿贝尔(Abel)和、拉玛努金(Ramanujan)和等等,切萨罗还对上述求和进行推广,给出了广义切萨罗求和的概念。我们不应该在我们仅仅了解柯西和的情况下去否认这些各式各样的“和”的正确性。
但似乎切萨罗这群数学家们在干一件费力不讨好的事情,柯西和的定义不仅直观而且便于计算,得到的结果也不算糟糕,那么,刚刚说到的这些人们,是不是只是在做无用功呢?
一二三四,再来一次
了解了我们在求什么,我们重新回到最开始的问题上。这次我们用理性的,科学的方式重新对刚刚那几个级数求一次和。
首先是格兰迪级数S1:
显然,柯西和似乎在这里并不适用了,格兰迪级数的前n项和An是在1、0之间摆动的一个数列,并没有收敛于某个数。如果我们手头只有柯西和这个工具,那么我们也只能对这个看似简单的级数束手无策,悻悻作罢。
这个时候,如果用切萨罗的方法求和又会怎样呢?
我们来分别计算一下{An}与{Cn},看看能得到怎样的结果:

可以看到,虽然柯西和不存在,但是切萨罗平均得到的数列却拥有极限1/2。所以,我们可以说,格兰迪级数具有切萨罗和为1/2。
我们发现,切萨罗求和比柯西和不仅是相容的(即柯西和若存在,则切萨罗和存在且与柯西和相同),而且在柯西和无法解决的发散级数中,切萨罗和也有着用武之地。
不仅仅是切萨罗和,前文提到的阿贝尔和、拉玛努金和等等求和,都可以处理格兰迪级数,并且得到一致的结果——1/2。
就好像无理数将有理数域扩充为实数域,虚数将实数域扩充为复数域。各式各样新的求和方式让我们对级数的本质有了更深刻的认识,对于发散级数那无穷个加号背后蕴含的东西,我们终于可以去进行理论计算,而非望洋兴叹。
现在,我们再来看看S2,这个呈增幅趋势正负摆动的级数是不是又像视频中所说,等于1/4呢?
如果你拿出纸笔计算一下,你会遗憾的发现,级数S2做切萨罗平均后得到的数列{Cn}并不收敛。我们似乎又碰到了麻烦。难道S2就真的无法求和了吗?
广义切萨罗求和再一次帮助我们解决了这个问题。这次我们是用n项的部分和的平均的平均来逼近数列的和。
为了不使**充斥太多的符号和计算过程而显得晦涩难懂,在这里就不进行具体的计算,有兴趣的同学可以在切萨罗求和的维基百科中看到相关的定义
在二阶切萨罗平均数列的逼近下,我们的的确确的求得了一个极限——1/4,这个和正是视频中给出的答案。同样,阿贝尔和、拉玛努金和也均一致得到这个正确的结论。
最后,就到了最让人不能接受的那个等式——自然数之和等于-1/12。
如果你动手算了,你会沮丧的发现,无论是柯西和、切萨罗和、广义切萨罗和(哪怕推广到无穷阶)还是阿贝尔和,对于全体自然数相加这个级数,居然都无能为力——似乎无论用什么办法去逼近这个和,得到的都是发散的结果。
然而拉玛努金和,却给出了这个正确的结果:-1/12。
求的拉玛努金和的具体过程,艰深而复杂。无法在**中给出证明,但我们已经知道,-1/12这样一个数字,并不是靠一个简单的数学把戏凭空捏造的,这其中涉及到相当有趣且深奥的数学理论。
想更多一点
这篇小**的最后,让我们再想多一点点。
在第一个视频中,视频的制作者留下了一个有趣的问题:假设房间里有一盏灯,一分钟之后将它打开,30秒后关上,15秒再打开,以后每次操作时间减半,那么2分钟时,灯处于什么状态?
忽略普朗克时间等因素不做讨论,我们从纯思维上的去考虑这个问题,就会发现,格兰迪级数的切萨罗和1/2反映的不正是反应了一个物理上的叠加态吗?
又如视频中所说,全体自然数之和等于-1/12,物理上确实已经有相应的实验从统计量角度验证了这个等式的成立,并且该结论被广泛应用于弦论当中。另外关于这个等式,还有很多种证明,其中最简明的应该是黎曼ζ函数在-1处的解得延拓。


维基百科:
格兰迪级数:
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A0%BC%E8%98%AD%E8%BF%AA%E7%B4%9A%E6%95%B8
切萨罗求和:http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%88%87%E8%90%A8%E7%BD%97%E6%B1%82%E5%92%8C
拉玛努金求和:http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation
黎曼ζ函数:http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%BB%8E%E6%9B%BCzeta%E5%87%BD%E6%95%B0

作者:pineislet
链接:https://www.zhihu.com/question/36864440/answer/69853980
来源:知乎
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。



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相关帖子

沙发
HWM| | 2018-6-21 12:15 | 只看该作者
一个数项级数发散(就算是已有确定意义的正负无穷大),某些“数学家”看着总有点“不舒服”,于是乎有好事者就搞了些有别于你们小学老师教给你们的“加法”,譬如Hölder、Cesàro、Abel和Ramanujan等几位。这里不想介绍那些“加法”,因为这并不是通常我们所用的“+”之意思。这里要关心的是其目的是什么?从相关文献资料就可以看到,其目的主要就是想通过某种“加法”使得原本发散的数项级数“收敛到”其“解析延拓”之值。注意,这是想建立从“数项级数”到其“解析延拓”间的关系。

我们知道,“解析延拓”是复变函数的某种延拓关系,“数项级数”不是“函数项级数”,构不成一个“复变函数”,充其量是个常数。


摘自:https://bbs.21ic.com/icview-2520882-1-2.html

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板凳
HWM| | 2018-6-21 12:16 | 只看该作者
下面再回到“小学”,看看一个极为简单的“数项级数”(具体见“前导”帖):

    1 = 1

     1 + 1 = 2

n个1相加

    1 + 1 + ... + 1 = n

问,当n趋于正无穷大时,上述级数等于多少?

这个问题其实是白问。有限项之和等于n且n趋于正无穷大,那么级数就是趋于正无穷大——+∞。简单的逻辑。

由实数系公理可知,正无穷大绝对不可能等于某个有限实数。

前面说过,那些“加法”的目的是为了得到相应“数项级数”的“解析延拓”。那么,针对1+1+...这个级数来找找相关的“解析延拓”。

首先得找相对应的函数项级数,自然想到的是等比级数:

    1 + z + z^2 + ... = 1/(1-z)    (|z|<1)

当z=1时,确实是发散。

但是,看看下面这个函数项级数

    1/1^z + 1/2^z + ... = ζ(z)    (Re{z}>1)

这个函数项级数,当z=0时,其就是1+1+...。而各位知道,这是与黎曼ζ函数相关的那个级数,其解析延拓(黎曼ζ函数)在原点的值就是

    ζ(0) = -1/2

那么,就算是按“解析延拓”来确定发散“数项级数”所对应的值(不是级数等于此值),也可能无定论。其实,关键问题是那些“加法”仅涉及到了数项级数,而未考虑其函数项级数的函数关系。


摘自:https://bbs.21ic.com/icview-2520882-1-2.html

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地板
HWM| | 2018-6-21 12:20 | 只看该作者
关于《量子场论》和《弦理论》中的重整化,可以看看这个帖子:

https://bbs.21ic.com/icview-2521024-1-2.html

真有兴趣,且有相关基础的,可以找本相关的物理书籍完整地看看。

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5
OTB| | 2018-6-21 16:35 | 只看该作者
关于这些级数。

谢谢大家1

而且还是无穷级数的问题。

那么。

显然因为,都是整数的级数和问题,自然其结果为“整数”。

出现一个分数结果,显然不可思议。

然而,负数,也好,0也罢,抑或虚数等。

都是不可思议的。

但能解决问题。

在研究费玛大定理的过程中。

本大师发现,只要使用了无穷大的概念。

立即可以得到解有限的结论。

那么对于黎曼猜想来说。

显然,想当年,黎曼其实的本意是试图证明哥德巴赫猜想。

他提出的这些复变函数的方法。

本来就是使用了虚数。

而虚数,除非作为一个解决问题的“有效工具”,否则,就是不可思议的。

其一定会得到不可思议的结论。

但作为工具,一个打包的工具,确实可以证明哥德巴赫猜想。

而所谓的“初等数学”方法,就是无能为力。

说的好听一点,就是“概念的提升和工具的使用”。

说的不好听一点,就是“胡说八道”和胡作非为了。

但只要你接受了虚数的概念。

那么这些方法,则都是正确合理的。

你能解决问题,那么所有人就不得不承认其正确。

这些无穷级数的和的问题。

如果你认为“发散”,那么就像“初等数学”,你无能为力,什么问题也解决不了,而且你也没有发现任何问题,也不会想到去发明“工具”。

因此,发散,属于初等数学的思维惯性。

如果你认为这些级数“收敛”。

那么其结果就是-1/12。

非常不可思议,整数之和居然是“分数”,但可以成为解决问题的“工具”。

因为虚数,和负数,以至于0,在当初,都是人们很难接受的东西,但能解决问题,人们就接受了。

再次感谢大家!

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6
雪山飞狐D|  楼主 | 2018-6-21 16:42 | 只看该作者
OTB 发表于 2018-6-21 16:35
关于这些级数。

谢谢大家1

     哈哈哈,你是明白人。。。。

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