原本就不是积分常数，何来“积分常数不是常数”一说？！

2万 · 2019-3-25 10:53

老张给出了一个帖子，从通常的积分常数概念论述了积分常数就是常数，详见

https://bbs.21ic.com/icview-2647572-1-1.html

这个论述本质上与微分方程解的待定系数一致。

2万 · 2019-3-25 10:56

本帖最后由 HWM 于 2019-3-25 11:04 编辑

对于微分方程的解，由于涉及到积分，所以其中的待定常数也有积分常数一说。

对于常系数线性常微分方程，如果其特征根都是单根，那么其相应特征根所对应的指数函数就是其线性无关解，相关系数就是待定常数（也可称为积分常数）。但若存在重根，譬如k重特征根λ，那么

常系数线性（常）微分方程的特征方程之k重特征根λ所对应的线性无关解是

e^(λt)
t e^(λt)
...
t^(k-1) e^(λt)

意味着相关解的形式为

Q(t) e^(λt)

其中Q(t)是t的k-1次多项式，多项式之系数为待定系数（常数）。

也就是说，这里的“积分常数”是多项式Q(t)的系数。如果是单根，那么多项式Q(t)就只剩下常数项，而这就是通常单根下的A。但对于重根，Q(t)根本就不是什么“积分常数”，何来“积分常数不是常数”？！